5.3.2 函数的极值与最大（小）值（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 第五章《一元函数的导数及其应用》 5.3.2 函数的极值和最大（小）值 1.函数的极值 这是江西庐山群山叠嶂的景象。苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是庐山的高低起伏，错落有致。在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不是群山的最高处，但它却是其附近的最高点。 在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 问题1.如图观察，函数y=f (x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？ x y O a b c d e 问题1.如图观察，函数y=f (x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？ x y O a b c d e 新知：极值的定义 极大/小值点统称极值点；极大/小值统称极值. 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 条件 f '(x0)=0 x0附近左侧f '(x0)>0 x0附近右侧f '(x0)<0 x0附近左侧f '(x0)<0 x0附近右侧f '(x0)>0 x0附近f(x)<f(x0) x0附近f(x)>f(x0) 图像 极值点左右两侧的导数值异号 概念辨析：极值定义的理解 问题3：一个函数的极小值一定小于极大值吗？ 问题1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？上 问题4：极值点可能是区间端点吗？ 不一定 不一定 不可能 问题2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图, 不一定 极值反映了函数在某点附近的大小， 刻画了函数的局部性质. 问题5：若f '(x0)=0，则x0一定是极值点吗？ 不一定 y＝|x|在x=0处取得极小值吗？ 新知：极值的定义 x0是极值点是f '(x0)=0的充分不必要条件. ②极大值和极小值的大小没有必然关系. ③极值点必在区间内部， 区间端点不能作为极值点. 若f ′(x)在点x0的左右两侧符号相同，则f(x0)不是极值． 概念巩固：极值定义的理解 1 例题讲解：求函数的极值 例题讲解：求函数的极值 x f '(x) f(x) + + ﹣ 0 0 极大值10 极小值-22 增 减 增 可能极值点 两侧导数是否异号? 例题讲解：求函数的极值 例题讲解：求函数的极值 x f '(x) f(x) ﹣ + ﹣ 0 0 不是极值 极小值 两侧导数是否异号? 减 减 增 巩固：求函数的极值 单调性(图) 2.函数的最值 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值比它附近点的函数值大或小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 问题1：函数的最值一定在极值点取得吗？ f(x)max=f(a) f(x)min=f(x3) 不一定，最大(小)值可能在极值点或区间端点取得. 闭区间[a,b]上的连续函数必有最大(小)值. 问题2：函数在区间I上一定有最大值和最小值吗？ 若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得. 且最值在极值点或区间端点取得. 若开区间(a,b)内的连续函数不一定有最值，如y=lnx 例题讲解：求函数的最值 ①求极值 ②求区间端点函数值并与极值比较； 例题讲解：求函数的最值(恒成立问题) 例题讲解：求函数的最值(恒成立问题) 例题讲解：求函数的最值(恒成立问题) 例题讲解：求函数的最值 A 例题讲解：求函数的最值(含参) 若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得. 例题讲解：求函数的最值(含参) 例题讲解：求函数的最值 例题讲解：求函数的最值 FIGHTING $$