28.2.2 第1课时 与视角有关的解直角三角形应用问题-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步导学案（人教版）

28.2.2 应用举例 第1课时 与视角有关的解直角三角形应用问题 一、新课导入 1.课题导入 情景：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)？ 问题：你能运用解直角三角形和圆的知识解决这个问题吗？（板书课题） 2.学习目标 （1）会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题. （2）知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题. 3.学习重、难点 重点：解直角三角形. 难点：将实际问题转化为数学问题. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P74例3. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：仔细体会直角三角形的直角是怎样得到的. （4）自学参考提纲： ①实际问题转化成数学模型，画出如图所示的图形，用⊙O表示 地球 ，点F是 组合体 的位置，则视线FQ与⊙O 相切 ，切点Q是观测地球时看到的最 远 点，要求的最远点与P点的距离就是求的长. ②∵FQ是⊙O的切线，∴∠FQO= 90 °，∴△FOQ是 直角三角形 . ③选择关系式求α的度数. ∵cosα=≈0.9491,∴α≈18.36°. ④求的长. . ⑤想一想：怎样得到∠FQO是直角的？为什么的长是最远点与P点的距离？ ⑥如图是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80 m，最低点C离地面6 m，旋转一周所用的时间为6 min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问： 经过2 min后，小明离地面的高度是多少米？ 过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE=×360°=120°,∴∠GOE=60°. ∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）, ∴小明离地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66(m). 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：明了学生是否理解Rt△FQO中相关元素的实际意义. ②差异指导：根据学情进行个别或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化 圆中获得直角的主要途径有： (1)过圆心作弦的垂线段. (2)构造直径所对的圆周角. (3)连接切点和圆心. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P75例4. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：先自主探索，再同桌之间互相讨论、纠错. （4）自学参考提纲： ①仰角和俯角的概念： 如图，从下往上看， 视线 与 水平线 的夹角叫做仰角，从上往下看， 视线 与 水平线 的夹角叫做俯角.图中的∠1是 仰角 ， ∠2是 俯角 . ②教材P75例4中，过点A作AD ⊥ BC于D，则在Rt△ABD中，∠BAD= 30° ，AD= 120 ，故选择关系式可求BD的长；在Rt△ACD中，∠CAD= 60° ，AD= 120 ，故选择关系式可求CD的长.所以这栋楼的高BC=BD+CD≈ 277 m . ③热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 45°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？ 120×tan45°+120×tan60°≈328(m) ④热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？ 120×tan60°-120×tan30°≈139(m) ⑤在斜三角形、梯形、矩形、菱形和正方形中，怎样添加辅助线构造直角三角形？ 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：关注学生自学提纲的解答情况，特别是第④、第⑤题. ②差异指导：根据学情进行相应指导. （2）生助生：生生互动，交流研讨、纠正. 4.强化 （1）仰角、俯角的定义. （2）当问题涉及到的三角形不是直角三角形时，添加辅助线构造直角三角形的图例. 三、评价 1.学生学习的自我评价：在这节课学习中，你有哪些收获？还有哪些困惑？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：点评学生学习的态度，小组交流合作状况，回答问题情况等. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，让学生明白俯角、仰角的含义.引导学生将实际问题转化为简单的数学模型。其中画出几何图形是解题关键，通过几何图形的分析来得到边、角的关系，再应用计算、推理手法解决问题.还要注意从实际生活出