28.2.2 第2课时 方向角和坡角问题-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步导学案（人教版）

28.2.2 应用举例 第2课时 方向角和坡角问题 一、新课导入 1.课题导入 情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ 问题：怎样由方向角确定三角形的内角？ 2.学习目标 （1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题. （2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题. 3.学习重、难点 重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题. 难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P76例5. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程. （4）自学参考提纲： ①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67） a.根据已知在图中标出方向角：如图所示. b.根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65° ，∠B= 34° ，PA= 80 . c.作高构造直角三角形：如图所示. d.写出解答过程： 在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）. 在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=≈130（n mile）. ②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°. ∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12. ∴AE=AD·sin60°=12×= (海里)＞8海里. ∴无触礁的危险. 2.自学： 结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况. ②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨. 4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P77. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结. （4）自学参考提纲： ①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路： a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案. ②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比，根据图中数据，求： a.坡角α和β的度数； b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位). 2.自学： 学生可参考自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：明了学生解答问题的情况. ②差异指导：根据学情进行相应指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨. 4.强化 （1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法. （2）在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4 m”，你能求出坝底BC的长吗？ （3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路： 三、评价 1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入. 一、基础巩固（70分） 1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D） A.南偏东50° B.南偏东40° C.北偏东50° D.北偏东40° 2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为