27.2.1 第3课时 相似三角形的判定（3）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步导学案（人教版）

27.2.1相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定（3） ——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定 一、新课导入 1.课题导入 情景：拿一个含30°角的三角尺，让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似. 问题1：你是怎么判定的？能用前面学习的判定定理判定它们相似吗？ 问题2：我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？（板书课题） 2.学习目标 (1)知道两角分别相等的两个三角形相似；知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似. (2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”. (3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似. 3.学习重、难点 重点：相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法. 难点：定理的证明. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P35. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：仿照上课时探究1,2完成探究提纲. （4）探究提纲： ①探究：与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A′B′C′，使得∠A=∠A′，∠B=∠B′. a.操作判断：分别测量这两个三角形的边长，计算 的值，你有什么发现？∠C=∠C′ 吗？由此你得到一个什么样的猜想？ b.交流比较：把你的结果跟你周围的同学比较，你们的结论相同吗？ c.归纳猜想：两角分别相等的两个三角形相似. d.推理证明：已知△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在A′B′上截取A′D=AB,过D作DE∥B′C′交A′C′于点E. ∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′. 又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,DE∥B′C′,AB=A′D, ∴∠A′DE=∠B′=∠B. ∴△ABC≌△A′DE.∴△ABC∽△A′B′C′. e.推理格式：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′. ②教材P35例2：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长. a.AB,AC,AE,AD分别是哪两个三角形的边？这两个三角形相似吗？ b.怎样证明这两个三角形相似？由此可以得到关于AB,AC,AE,AD的一个怎样的比例式？ c.写出你的解答过程. AB,AC是△ABC的边，AE,AD是△AED的边，这两个三角形相似. ∵ED⊥AB,∴∠EDA=90°, 又∵∠C=90°,∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC. ∴.∴AD==4. ③如图，若∠B=∠AED，则△ADE∽△ACB吗？为什么？ △ADE∽△ACB. 理由：∵∠B=∠AED,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB. ④底角相等的两个等腰三角形相似吗？顶角相等的两个等腰三角形相似吗？证明你的结论.（相似，证明略） 2.自学：学生参照自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况. ②差异指导：根据学情进行指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′△ABC∽△A′B′C′. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P36. （2）自学时间: 6分钟. （3）自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理. (4)自学参考提纲： ①由已知∠C=∠C′=90°，,能根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似吗？为什么？ （不能，∠C和∠C′并非对应两边的夹角） ②选择定理“三边成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似，还差什么条件？ ③能否像前面三个判定定理的证明一样，构造一个与已知的一个三角形全等而与已知的另一个三角形相似的中间三角形的方法来证明呢？ ④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证： a.△ACD∽△ABC；b.△CBD∽△ABC. 证明：∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°. ∴∠ADC=∠ACB=∠CDB. a.在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC. b.在△CBD和△ABC中，∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,∴△CBD∽△ABC. ⑤如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k＞0)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？ （相似，理由：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 2.自学：学生参照自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：直角三角形相似判定定理的归纳与证明. ②差异指导：根据学情进行指导. （2）生助生：生生互动交流、研讨. 4.强化 （1）