27.2.1 第3课时 相似三角形的判定（3）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级下册数学同步课件PPT（人教版）

第3课时 相似三角形的判定（3） R·九年级下册 新课导入 观察直角三角尺，其内外轮廓构成的两个三角形是否相似？你是怎么判定的？ 推进新课 相似三角形的判定定理 知识点1 我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？ 3 在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B'，∠C=∠C'，那么能否判定这两个三角形相似？ A' B' C' B A C 猜想：△ABC∽△A'B'C' 如何证明 证明：在A'B'上截取A'D=AB，过D作DE∥B'C' 交A'C'于点E，∵DE∥B'C'， ∴△A'DE∽△A'B'C' 又∵∠A=∠A' ∠ B=∠B', DE∥B'C', AB=A'D ∴∠A'DE=∠B'=∠B ∴△ABC≌△A'DE ∴△ABC∽△A'B'C 一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理. ∠A=∠A' ∠B=∠B' △ABC∽△A'B'C' 两角分别相等的两个三角形相似. 判定定理3： 例 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长. 解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90° 又∵∠C=90°,∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC. ∴ ∴ 如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 一个判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 1 练习 1.如图，当 时，△ABC∽△AED(填写一个条件). ∠ADE=∠C（答案不唯一） 2.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论. 解：（1）相似（2）相似 都符合两个角对应相等的两个三角形相似. 直角三角形相似判定定理 知识点2 思考 我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°， ， 求证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 分析：要证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 可设法证 若设 则只需证 证明：设 ， 则AB=kA'B'，AC=kA'C' 由勾股定理得 ∴ ∴ ∴ Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证： （1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC. 证明：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°. ∴∠ADC=∠ACB， 在△ACD和△ABC中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴△ACD∽△ABC. （2）∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°. ∴∠ACB=∠CDB. 在△CBD和△ABC中， ∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB， ∴△CBD∽△ABC. 2.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ） C A.P1 B.P2 C.P3 D.P4 随堂演练 基础巩固 1.从下面这些三角形中，选出相似的三角形. ①、⑤、⑥相似，③、④、⑧相似，②和⑦相似. 2.如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC. 证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC. 在△ABC和△BDC中, ∠A=∠DBC，∠C=∠C. ∴△ABC∽△BDC. 3.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长. 解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°, ∴∠ADB=∠CAB. ∴△ABD∽△CBA, 即 , BD=1.6(cm). ∴ 综合应用 4.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16. （1）求证：△ABC∽△DAC; （2）求CD的长. （1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C, ∴△ABC∽△DAC. （2）解：∵△ABC∽△DAC， ∴ ,即 ∴CD=4. 课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似. 如果两个直角三角形满足一个锐角相