专题08 二项式定理（八大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）

专题08 二项式定理 思维导图 核心考点聚焦 考点一：二项式定理的正用、逆用 考点二：二项展开式的通项的应用 考点三：求两个多项式积的特定项 考点四：余数和整除的问题 考点五：近似计算 考点六：二项展开式的系数和问题 考点七：二项式系数性质的应用 考点八：三项式及多项式展开问题 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 知识点二、二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 知识点三：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 二项式定理的应用 1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． 2、利用赋值法进行求有关系数和． 3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法： 4、证明有关的不等式问题： 5、进行近似计算： 考点剖析 考点一：二项式定理的正用、逆用 例1．（2024·高二课时练习）求的二项展开式． 例2．（2024·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 例3．（2024·高二课时练习）利用二项式定理展开下列各式： (1)； (2). 变式1．（2024·高二课时练习）求的展开式. 考点二：二项展开式的通项的应用 例4．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于16； ②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1. 从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答， 已知，___________. (1)求展开式中第四项； (2)求展开式中所有的有理项. 例5．（2024·河南驻马店·高二统考期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ． 例6．（2024·云南保山·高二统考期末）二项式的展开式中，含项的系数为 . 变式2．（2024·陕西汉中·高二校联考期末）展开式中的常数项是 .（用数字作答） 考点三：求两个多项式积的特定项 例7．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 例8．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）的展开式中的系数是 ．（用数字填写答案） 例9．（2024·四川眉山·高二校考阶段练习）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 变式3．（2024·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）已知的展开式中x的系数为2，则实数a的值为 ． 考点四：余数和整除的问题 例10．（2024·河南郑州·高二校联考期中）除以所得的余数是 . 例11．（2024·山西吕梁·高二统考阶段练习）被4除的余数为 . 例12．（2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）若，则除以7的余数是 . 变式4．（2024·山西·高二统考期中）除以所得的余数为 . 考点五：近似计算 例13．（2024·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是 ． 例14．（2024·高二课时练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001） 例15．（2024·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）的近似值（精确到）为 ． 变式5．（2024·全国·高二专题练习）1.028的近似值是 .(精确到小数点后三位) 考点六：二项展开式的系数和问题