专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略（16个核心考点）与难点强化训练-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略（16个核心考点）与难点强化训练 思维导图 核心考点聚焦 考点一．函数的概念及其构成要素 考点二．判断两个函数是否为同一函数 考点三．函数的定义域及其求法 考点四．函数的值域 考点五．区间与无穷的概念 考点六．函数的单调性及单调区间 考点七．函数单调性的性质与判断 考点八．复合函数的单调性 考点九．函数的最值 考点十．奇函数、偶函数 考点十一．函数奇偶性的性质与判断 考点十二．奇偶函数图象的对称性 考点十三．奇偶性与单调性的综合 考点十四．反函数 考点十五．函数的零点与方程根的关系 考点十六．二分法的定义与应用 一．函数的概念及其构成要素 函数的定义： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B 都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同， 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示． 【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法． 二．判断两个函数是否为同一函数 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 三．函数的定义域及其求法 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 四．函数的值域 函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域． 【解题方法点拨】（1）求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等． 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． （2）函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目． 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力． 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． （3）运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 五．区间与无穷的概念 设a＜b，①开区间：{x|a＜x＜b}＝（a，b） 　　 ②闭区间：{x|a≤x≤b}＝[a，b] ③半开半闭区间：{x|a＜x≤b}＝（a，b]{x|a≤x＜b}＝[a，b） 　　 正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值． 符号为+∞． 数轴上可表示为向右箭头无限远的点． 负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都小的数值． 符号为﹣∞． { x|a≤x }＝[a，+∞） { x|a＜x }＝（ a，+∞） 　　 { x|x≤a }＝（﹣∞，a] { x|x＜a }＝（﹣∞，a ） 　　 { x|x∈R }＝（﹣∞，+∞） 【解题方法点拨】通常情况下，解答不等式，函数的单调性的问题利用单调性的定义，或者函数的导数等知识，注意函数的定义域