专题01 等腰三角形（7个知识点+方法练+创新练+成果练）2024年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

专题01 等腰三角形（7个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.定理AAS的证明及全等三角形的性质 知识点2.等腰三角形的性质定理 知识点3.等腰三角形性质定理的推论 知识点4.等腰三角形的判定定理 知识点5.反证法 知识点6.等边三角形的性质与判定 知识点7.含30°角的直角三角形的性质 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.定理AAS的证明及全等三角形的性质 1. 定理：有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 2.性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形的周长、面积相等。 ③全等三角形的对应边上的高对应相等。 ④全等三角形的对应角的角平分线相等。 ⑤全等三角形的对应边上的中线相等。 【例1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【变式】（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，，，，，，求的长． 知识点2.等腰三角形的性质定理 性质1：等腰三角形两底角相等 【例2】（2023·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ）． A． B． C． D．或 知识点3.等腰三角形性质定理的推论 推论：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线重合（简称“三线合一”） 【例3】（2023·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的中点，连接平分交于点，过点作交于点， (1)若，求的度数； (2)求证：． 知识点4.等腰三角形的判定定理 定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【例4】（2023·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形 个． 知识点5.反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定这个假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 【例5】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 已知：在△ABC中，AB=AC． 求证：∠B，∠C必为锐角. 知识点6.等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的性质定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°. 2.等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.等边三角形的判定定理2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 【例6】（2023·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，已知等腰中，，，于点D、点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，连接． 结论Ⅰ：是等边三角形； 结论Ⅱ：． A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B．结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误 C．两个都正确 D．两个都错误 【变式】（2023·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）如图，在中，，过点作，在直线上取点，使得，连接，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点7.含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【例7】．（2023·吉林四平·八年级校考期中）如图，在中，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． (1)______，______度； (2)当四边形为轴对称图形时，求的长； (3)若是等腰三角形，请直接写出的度数； 【变式】．（2023·江西上饶·八年级统考期中）如图，等边的边长为6，为边上一点，过点作于，过点作于，若，则 ． 【方法练】 1．（2023·江西上饶·八年级统考期中）已知：等腰中，，，现将一块足够大的直角三角尺（，）按如图1位置放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，与的夹角，斜边交于点． (1)如图1，当时，为________三角形，并说明理由； (2)如图2，滑动过程中，当时，求证：； (3)点在滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出夹角的度数；若不可以，请说明理由． 2．如图，在中，为的角平分线，以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．    (1)问与全等吗？为什么？ (2)若，求的大小． 3．如图，等边与等腰三角形有公共顶点C，其中，，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD、AP．    (1)为了研究线段AP与PD的关系，将图1中的绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AP