5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.4 三角函数的图像和性质 第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (第一课时) 一 二 三 学习目标 了解函数的周期,会求周期函数的周期 会求函数的最小正周期 掌握函数的奇偶性,会判断函数奇偶性 学习目标 复习回顾 1. 正弦函数、余弦函数的图像是怎样的?我们怎么画简图? 图象作法- 几何法 五点法 五点作图法的关键点: 与轴的交点 图象的最高点 图象的最低点 2. 类比以往对函数性质的研究,你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质? 有单调性、奇偶性、最值等性质 另外,三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型,与此对应的性质是特别而重要的. 问题1 大家观察下面的图像,有什么特点? x 0 1 -1 “周而复始” 你能解释正弦函数值为什么会具有的“周而复始”的变化规律吗? 新知探究 即自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值,与所对应的函数值相等. 数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律. 4 概念生成 周期函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D 且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 说明:我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都是指的最小正周期。 X X+2 y x 0 2 4 -2 y=sinx(x∈R) 自变量x增加2 时函数值不断重复地出现的 o y x 4 8 x o y 6 12 T是f(x)的周期,那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数) 问题2 根据周期函数的定义,正弦函数的周期是多少呢? 新知探究 正弦函数的周期不止一个(取不同的k值)。 例如…以及…等.都是正弦函数的周期. 正弦函数是周期函数,2k (k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2 . 余弦函数是周期函数,2k (k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2 . 正弦函数、余弦函数的周期: 概念生成 概念辨析 说明:定义是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足:f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期. 不是. 说明:周期函数中,x 定义域D,则必有x+T D, 且若T>0,则定义域无上界;T<0则定义域无下界. 追问1 追问2 是. 但无最小正周期. 说明:并不是所有周期函数都有最小正周期,如y=1. 追问3 典例解析 (1)y=3sin x,x∈R; 解 :(1) ∀x∈R,有3sin(x+2 )=3sin x, 由周期函数的定义可知,原函数的周期为2 . (2)y=cos 2x,x∈R; 解 :(2)令z=2x,由x∈R得z∈R,且y=cos z的周期为2 , 即cos(z+2 )=cos z, 于是cos(2x+2 )=cos 2x,所以cos 2(x+ )=cos 2x,x∈R. 由周期函数的定义可知,原函数的周期为 . 例2 求下列函数的周期: 典例解析 例2 求下列函数的周期: 解 :(3)令 ,由x∈R得z∈R, (3)y= . 由周期函数的定义可知,原函数的周期为4 . 且y=2sin z的周期为2 , 于是 , 所以 ,x∈R. 函数 问题3 回顾例2的解答过程,你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗? 例题总结 周期 例题总结 问题3 回顾例2的解答过程,你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗? 仿照上述分析过程可得函数y=Asin( x+ )、y=Acos( x+ ) (其中A, , 为常数,且A≠0, >0)的最小正周期为:T . 一般地,如果函数y=f (x)的周期是T, 那么函数y=f ( x) ( >0)的周期是 . 巩固练习 课本P203 求周期函数最小正周期的常用方法: (1)定义法: 利用周期函数的定义求解. (2)公式法: T=. (3)图象法: 通过图象直接观察即可. 新知探究 问题4 观察正弦函数、余弦函数的图像,它们的图象有何对称性? x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y=sinx (x R) x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y y=cosx (x R) 是奇函数 是偶函数 sin(-x)= - sinx (x R) cos(-x)= cosx (x R) 定义域关于原点对称 y=sinx y x o - -1 2 3 4 -2 -3 1 y=sinx (x R) 图象关于原点对称 巩固练习 课本P203 (1)奇函数; (3)奇函数; (2)偶