第09讲 两条直线的位置关系-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第09讲 两条直线的位置关系 思维导图 核心考点聚焦 1.对顶角的定义 2.利用对顶角相等求角度 3.求一个角的余角 4.求一个角的补角 5.与余角、补角有关的综合计算问题 6.垂线定义的理解与应用 7.利用垂线的定义求角的度数 8.点到直线的距离与垂线段最短 一、相交线 1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O． 2.对顶角的概念及性质 对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等. 3.互补与互余 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补. 互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 二、垂线 1.垂直的概念及表示. 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O. 垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）． 2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段. 三、平行线 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 表示方法：我们通常用“∥”表示平行．如下图所示，AB与CD平行，记作AB∥CD或CD∥AB. 平行线三要素：①在同一个平面内；②两条直线；③不相交.三者缺一不可. 1.对同角和等角的理解以及同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 2.利用余角，补角，垂线计算角的综合问题. 考点剖析 考点一、对顶角的定义 例题1：下列所给的和中，是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故A项错误； B、的反向延长线并不是的两边，不符合对顶角的定义，故B项错误； C、的反向延长线是的两边，且两角有公共顶点，符合对顶角的定义，故C项正确； D、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故D项错误． 故选C． 【变式训练】 1．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意； B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意； C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意； D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意． 故选C． 考点二、利用对顶角相等求角度 例题2：如图，两条直线相交于点O，若，则 度． 【答案】 【解析】因为，（对顶角相等），所以．故答案为：． 【变式训练】 1．如图，已知直线和相交于点，，射线平分，，求的度数． 【解析】因为，所以， 因为，所以，所以， 因为平分，所以，所以． 考点三、求一个角的余角 例题3：若一个角的度数为，则它的余角的大小为 ． 【答案】 【解析】一个角是，则它的余角．故答案为：． 【变式训练】 1．已知与 互余，若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】因为与 互余，所以，因为，所以，故答案为：． 2．如果一个角的余角是，那么这个角的对顶角是 ． 【答案】 【解析】由题意，得，故这个角的对顶角的度数是．故答案为：． 考点四、求一个角的补角 例题4：已知，则的补角等于 ． 【答案】 【解析】的补角为，故答案为：． 【变式训练】 1．已知与互补，且，则 ． 【答案】 【解析】因为与互补，即，而， ，故答案为：． 2．已知，则的补角等于 ． 【答案】158°42′ 【解析】，的补角为：，故答案为：． 考点五、与余角、补角有关的综合计算问题 例题5：如图，与互为补角，与互为余角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【解析】（1）因为与互为余角，所以， 因为，所以． （2）因为与互为补角，所以． 因为OE平分，所以