第07讲 整式的除法-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第07讲 整式的除法 思维导图 核心考点聚焦 1.单项式除以单项式 2.用科学记数法表示数的除法 3.多项式除以单项式 4.整式四则混合运算 5.整式混合运算中的化简求值 6.利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 一、单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑. 二、多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m． 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号. 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号. 1.进行整式的混合运算时，注意符号的变换. 2.利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式时，多项式要按指数从高到低排序. 考点剖析 考点一、单项式除以单项式 例题1．计算： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）； （2）； （3）． 【变式训练】 1．计算：（1）；(2)． 【解析】（1） ； （2） ． 考点二、用科学记数法表示数的除法 例题2．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需__________小时．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【解析】由题意得：飞机飞行时间为：，故答案为：． 【变式训练】 1．计算： ． 【答案】 【解析】 ， 故答案为：． 2．学校图书馆藏书约3.6×册，学校现有师生约1.8×人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅 册图书． 【答案】20 【解析】由题意得：．故答案为：20． 考点三、多项式除以单项式 例题3．计算： (1)； (2). 【解析】（1）； （2） ． 【变式训练】 1．计算：． 【解析】 ． 2．计算：(1)；(2)． 【解析】（1）原式 ； （2）原式= ． 考点四、整式四则混合运算 例题4．计算： (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 考点五、整式混合运算中的化简求值 例题5．先化简，再求值：，其中． 【解析】 ； 当时， 原式． 【变式训练】 1．先化简，再求值：，其中，． 【解析】原式 ； 当，时，原式． 2．先化简，再求值：，其中 【解析】原式 ． 当时，原式． 考点六、利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 例题6．阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：用竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式；其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按x的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．             因此． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（    ）． A．数形结合 B．类比 C．方程 任务三  学以致用 （3）的商式是________，余式是________． 【解析】（1）按x的指数从大到小排列：； （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是类比，故选B； （3）根据题意可得， 所以的商式是，余式是． 【变式训练】 1．阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比多位数的除法进行计算． 如图： ， ． 由图可得，多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）； ②用竖式进行运算； ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：余式为，能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为_