鲁教版2024年九年级中考数学一轮复习+一次函数专题复习+一次函数与等腰三角形存在性专题

鲁教版2023-2024一次函数专题复习+一次函数与等腰三角形存在性专题 问：在平面内有一线段AB，点C为平面内任意一点，若△ABC为等腰三角形，则这样的点C有几个？点C的轨迹又是什么？ 【解析】根据等腰三角形的性质，线段AB有可能为底边，也有可能为腰，故有两种基本情况。 情况（1）：线段AB为底边，则有AC=BC，即点C到线段AB两端点的距离相等，故点C在线段AB的中垂线上，此时点C有无数个，点C的轨迹为直线（不取与AB相交的点），如下图： 情况（2）：线段AB为腰，则有： ①AB=AC，即点C到点A的距离等于点B到点A的距离，则点C在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点B和与A、B共线点），如下图： ②AB=BC，即点C到点B的距离等于点A到点B的距离，则点C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上，此时点C有无数个，点C的轨迹为圆（不取点A和与A、B共线的点），如下图： 综上所述，这样的点C有无数个，点C的轨迹为两个圆和一条直线，为了方便记忆，我们简称“两圆一线”，这是等腰三角形存在性处理的基本定性策略。 请记住这两圆一线：一线，指的是线段的中垂线，两圆，指的是以线段长度为半径，线段端点为圆心而产生的两个圆。 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为（0，3），连接AC，以AC为边，∠ACD为直角，在AC右侧作等腰直角三角形ACD，则点D的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（2，﹣1） C．（3，﹣2） D．（2，﹣） 2．如图，平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为直角边向右作等腰直角△ABC，以AO为斜边向左作等腰直角△ADO，连接DC交直线l于点E．则点E的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 3． 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8，动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止． 在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有 个． 4． 如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形． 5．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． （1）分别求出直线和直线解析式． （2）求四边形的面积． （3）若E为y轴上一点，且为等腰三角形，请求出点E的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为坐标原点，顶点A，C分别在y轴、x轴上，顶点B在第二象限内，一次函数6的图象分别与坐标轴交于点A，C． （1）如图①，将△ABC折叠使得点C落在长方形的边AB上的点E处，折痕为BD，求点B，E的坐标； （2）如图②，将△ABC折叠使得点B落在对角线AC上的点E处，折痕为AD，求点D的坐标； （3）在平面直角坐标系内，是否存在一点E（除点B外），使得△AEC与△ABC全等？若存在，写出所有符合条件的点E的纵坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2⊥l1于点B．已知位于第三象限的点C在直线l2上，且AB＝BC． (1)求点C的坐标； (2)已知点N（，0）在x轴负半轴上，点M是AB上一点，连接MN，MC，则MN+MC的值最小，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若x轴上有一点P，使以M，N，P为顶点三角形是等腰三角形，直接写出满足条件的P点的坐标． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点D，，，点P是直线上一动点，连接，． (1)求直线的表达式； (2)求的最小值； (3)如图2，将三角形沿翻折得到，当点落在坐标轴上时，请直接写出直线的表达式． 9．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)求OC的长； (3)在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，说明理由． 10．如图所示，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第二象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第一象限内有一点P（m，），试用含m的代