2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与，相交于点，． （1）过点作的切线与相交于点，求证：； （2）连接，求证：． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若OA＝1，求弦AC的长． 3．如图，已知的边是的切线，切点为点．经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 4．如图，已知的直径，弦，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 5．如图，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：是半的切线； （2）若，求线段的长． 6．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，于点E，AD平分． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，则图中阴影部分面积为 ． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长． 9．如图，中，∠B＝45°，以点A为圆心，AB为半径作⊙A，恰好经过点C． （1）CD是否为⊙A的切线？请证明你的结论； （2）DEF为割线，∠ADF＝30°，当AB＝2时，求DF的长．    10．如图，已知 AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点 D，AC平分∠DAB． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若 AB=4，∠DAB=60°，求AD的长． 11．如图，是的弦，交于点，过点的切线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的半径为，，求的长． 12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 13．如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点，过点作，分别交，的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长度（结果保留）． 14．如图，是⊙O的直径，，弦． （1）求证：是⊙O的切线 （2）已知，求线段的长 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径． 16．如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点F，交CB的延长线于点E． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若EF＝，EB＝2，求图中阴影的面积． 17．如图，在中，，是∠ABC的平分线，点在上，以点为圆心，经过点的圆与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是菱形，时，求的半径． 18．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，证明，再根据切线的性质即可证明结论； （2）连接，证明四边形为矩形，得，再根据等腰三角形的性质得，即可证明结论． 【详解】证明：（1）如图，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为切线， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合证明，解题的关键是掌握圆的基本性质和切线的性质． 2．（1）见解析；（2）AC＝． 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，∠P=30°，求出∠ACP的度数，则可求出答案； （2）连接BC，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：（1）证明：连接OC，如图1， ∵OA＝OC，∠A＝30°， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∵CA＝CP， ∴∠A＝∠P＝30°， ∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°， ∴OC⊥CP， ∴C