2024年中考数学高频考点突破——二次函数与菱形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于两点，其中点坐标为． （1）求点坐标； （2）点为直线上方抛物线上一点连接，当时，求点的坐标； （3）将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，抛物线与x轴相交于点（点B在点C左侧），与y轴相交于点，已知点C坐标为，面积为6． (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，交轴于点，二次函数的图像经过点，且对称轴为直线． (1)请求出，，的值； (2)点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标，不必说明理由；若不存在，请说明理由； (3)将直线向下平移个单位，使得直线与抛物线有且只有一个交点，求的值； (4)点在轴上，且位于点下方，点在二次函数的图像上，点在一次函数的图像上，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 6．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，设P点的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)试探究：过点P作的平行线l，交线段于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 7．综合与实践 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． (1)求点A，B，C的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设点F在直线l上运动，点G在平面内运动，若以点B，C，F，G为顶点的四边形是菱形，且为边，直接写出点F的坐标． 8．如图，抛物线的图象与x轴交于点A点和B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，连接BC． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线在x轴下方上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值； (3)在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点P和Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． (3)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABC