2024年中考数学高频考点突破——相似三角形

2024年中考数学高频考点突破——相似三角形 1．【问题解决】 如图1，已知正方形中，，分别是，边上的点，与交于点．当时，求证：； 【类比迁移】 如图2，在菱形中，，分别是，边上的点，与交于点．若，求证：． 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．，，，，若，请求出的值． 2．在正方形中，，，、分别在、上．（且不与正方形顶点重合） (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，射线和的延长线交于点，射线和的延长线交于点，连接，请问的面积是否发生变化；如果不变，请求出的面积；如果要变，请说明理由； (3)如图3，连接分别交、于点和点，连接，则，过点作交于点，求证：． 3．在和中，点E为内一点，，． (1)如图①，若，求证：． (2)如图②，若，直线分别交线段和直线于点H、G，求的值． (3)在（2）的条件下，若，，将绕点A旋转，当点H恰是线段的三等分点时，请直接写出的长． 4．如图1，在中，，，点是的中点，点在上，连接交于，作交于，连接，交于．    (1)求的大小； (2)连接并延长交于点，如图2，若恰好是的中点的值． ①求证：；②直接写出的值． 5．如图，矩形中，点P在边上，并且与C、D不重合，过点A作的垂线与的延长线相交于点Q，连接，M为的中点． (1)求证：； (2)若，点P在边CD上运动，设， ①点M恰好在线段上时，试求x的值； ②设，试求y与x的函数关系式，并求线段长的最小值． 6．（1）【感悟】如图①，把直角三角板的直角顶点放在破损圆形玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、，连接，则线段为圆形玻璃镜的直径．此操作体现的数学道理是：______． （2）【应用】 如图②，、、三点在上且，过点作垂直的切线于点，若，．求的长． （3）【拓展】 如图③，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰，点为的中点，连接，请直接写出的度数． 7．如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合)，且，以和为邻边作矩形，连接，． （1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 8．在四边形中，平分，点是上任意一点，连接，且，，点为延长线上一点，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，， ，，求线段的长． 9．【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，且，，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E在边上，连接与交于点O，当时，求的值．    10．平移，翻折和旋转是几种重要的几何变换方法，它们可以通过改变图形的位置，使分散的条件集中，从而便于问题解决．    (1)知识理解：如图1，中，，，将向右平移，使B与C重合，得，连接，则四边形是 形； (2)问题探究：如图2，E是正方形的边的中点，F是延长线上的点，，若，直接写出正方形的边长；（不用书写解答过程，但需在图中作出必要的辅助线） (3)拓展应用：中，，，，延长至E，使，作，与交于G，当时，求的值． 11．综合与实践    在综合与实践课上，同学们以如图1的两个含的直角三角尺为主题开展数学活动，其中，，． (1)轴对称小组将以为对称轴翻折，如图2，与交于点P，连接，发现，请你证明这个结论． (2)旋转小组将以中点为旋转中心，逆时针旋转到如图3的位置，、边与边、交于点、、，连接，求的长度． (3)平移小组将沿向下平移到图4时，分别延长、，交、于点、，发现四边形恰好是正方形，直接写出此时正方形的面积． 12．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的圆分别交，于点，，连接．    (1)求证：是圆的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 13．定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．    (1)等边三角形“捷线”条数是________； (2)如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”； (3)在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长． 14．如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，．    (1)若为的直径，求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 15．抛物线的顶