专题：导数 同构法讲义-2024届高三数学二轮复习

同构专题 知识梳理 1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题 2.当遇到幂函数乘以或常数乘以时我们可以用对数恒等式变换 ， 这时搭配、就能找到同构。这种同构就称为朗博同构。 常用的方法有：、、、、 3.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：，. ①；. ②； . ③；. ④； . 有时也需要对两边同时加、乘某式等. 4.与为常见同构式：，； 与为常见同构式：，. 精选例题习题 题型：构造 1.已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】 设，显然是增函数， 不等式变形为，即，所以． 所以， 令，则， 当时，，单调递增，时，，递减， 所以， 不等式恒成立，则．即的最小值是． 故选：A． 2.已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由移项得： （说明：将变量移至一边的原则进行变形） 即，两边同时加（x－1）得 （说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形） 即 设，则，所以单增 所以，即 设，则，所以在单减，在单增， 所以，所以. 3.已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵ ∴ 两边加上得 设，则其单增 ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，，单增；当时，，单减 ∴当时，取得极大值即为最大值，且 ∴，∴即为所求. 题型：构造 1.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，不等式成立，即成立，即， 进而转化为恒成立， 构造函数，可得， 当，，单调递增， 则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 进而转化为恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即实数m的取值范围是. 2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）. 【答案】 【解析】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为. 题型：构造 1.设a，b都是正数，若（其中e 是自然对数的底数），则（ ） A.＞e； B.＞ea+1； C.＜e； D.＜ea+1. 【答案】B 【解析】由已知移项整理得， 为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得， 为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得 故 设，即为 ∵a＞0，∴ ∵，∴，故， 当＞0，单增 ∴，即 ea+1＜，选B. 2．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不等式，在恒成立， 即在恒成立， 设，则， 因为，令，解得， 所以当，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为当时，恒成立， 所以恒成立，所以， 设，则， 当时，，单调递减， 所以 所以，即的取值范围为. 故答案为： 题型：构造 1.已知函数（），若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . A． ； B． ； C． ； D． . 【答案】A 【解析】，即 两边同时除以得 两边同时除以得，即 设函数，易得在单增 所以，易知，故 设，易得 所以，故，选A. 2.6.（2022·江苏天一中学）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】（，） 【解析】关于的不等式在上恒成立，则， 设，∴ ∵， ∴在上单调递增， ∴即， 设， ∴，令，得， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， ∴， ∴ 故答案为：（，）. 题型：构造f(x)= 1．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【答案】 【解析】 ，∴， 构造函数，显然在上单调递增， 故等价于，即任意的实数恒成立，． 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，，得． 2．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不等式可变形为. 因为且，所以. 令，则. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于，所以. 因为，所以. 设，则. 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，所以. 故正实数的取值范围是. 题型：其它构造 1.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由，得，构造函数， 则 ，， 当时，，当时， ，所以在上单调递增， 得，，在上恒成立， 设，， 当时，，单调增， 当时，，单调减， ，所以 故选: