湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高二上学期期中数学椭圆解答题专题训练

椭 圆 解 答 题 1.定点问题 例1 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过一定点.并求出点的坐标. 例2 已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点分别为，，点为坐标平面内的一点，且，，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，，是椭圆上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，，且.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标， 例3 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. 2.面积问题 例4 平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于,两点，为的中点，且的斜率为. (I)求的方程；(II),为上的两点，若四边形对角线，求四边形面积的最大值. 例5 已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆的离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．（I）求椭圆的标准方程；（II）记椭圆的左、右顶点分别为，且直线的斜率分别与直线（为坐标原点）的斜率相同，动点不与重合，试判断的面积是否为定值，并说明理由. 3.位置关系（垂直、相切等） 例6 已知直线x-y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆S的方程； （2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k． ①若直线PA平分线段MN，求k的值； ②对任意k＞0，求证：PA⊥PB． 例7 给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值. 4.其它综合问题（范围、最值、存在性与恒成立） 例8 已知动圆与y轴相切于点M（0，2），过点E（0，﹣1），F（0，1）分别作动圆异于 y轴的两切线，设两切线相交于Q，点Q的轨迹为曲线Ω． （1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）过（2，0）的直线l与曲线Ω相交于不同两点A，B，若曲线Ω上存在点P，使得成立，求实数λ的范围． 例9 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：+=2． 练习题： 1.已知定圆,动圆过点,且和圆相切． (I)求动圆圆心的轨迹的方程； (II)设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、,点．若、、三点不共线,且．证明：动直线经过定点． 2.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 3.已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程； （2）斜率为2的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程； （3）在轴上是否存在一点，使得过点的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值？若存在，求出点的坐标及相应的定值. 4．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过，直线与椭圆交于,两点（,两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上. （Ⅰ）求椭圆的方程.（Ⅱ）若以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由. 5．已知、是椭圆上的两点，且，其中为椭圆的右焦点. （1）求实数的取值范围；（2）在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由. 6.如图，已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点满足：在线段的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆的方程; （Ⅱ）若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于点、、，且，求的取值范围． 7.已知椭圆过点，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过的直线交椭圆于，两点，试问：是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 8.已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 椭 圆 解 答 题 1.定点问题 例1 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，