湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高二上学期期中数学椭圆专题训练

期中复习专题训练 题型一 离心率 1.已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )A. B. C. D. 2．已知椭圆 ，点为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点，使,则离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3．已知分别为椭圆（）的左、右顶点， 是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 题型二 曲线与方程 1.曲线与曲线的交点有______个． 2．已知椭圆与轴交于两点，过椭圆上一点（不与重合）的切线的方程为，过点且垂直于轴垂线分别与交于两点，设交于点，则点的轨迹方程为__________． 3.过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点，若直线与圆相切，则直线与的交点的轨迹方程为__________ 题型三 椭圆压轴题 1.已知离心率为的椭圆 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 两点.（1）求椭圆 方程；（2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标. 2．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是、以为圆心、以3为半径的圆与以为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 3．已知椭圆的顶点坐标分别为、，且对于椭圆上任意一点（异于、），直线与直线斜率之积为.（I）求椭圆的方程；（II）如图，点是该椭圆内一点，四 边形的对角线与交于点.设直线，记.求的最大值. 4．已知椭圆的左焦点为，离心率． (I)求椭圆C的标准方程；(II)已知直线交椭圆C于A，B两点． ①若直线经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足.求证：为定值；②若，求面积的取值范围. 5．已知椭圆过点，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过的直线交椭圆于，两点，试问：是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,坐标原点O到直线x+y-b=0的距离为. (1)求椭圆C的标准方程;(2)设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A,B两点,对于椭圆C上一点M,若(λ>0,μ>0),求λμ的最大值. 期中复习专题训练 题型一 离心率 1.已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )A. B. C. D. 由题意设 与四边形 的面积之比为 与 的面积之比为 又 ，即 将 和代入椭圆方程得 即 解得 2．已知椭圆 ，点为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点，使,则离心率的取值范围为 A. B. C. D. 设 ，则 可得： 故选A． 3．已知分别为椭圆（）的左、右顶点， 是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 设，则， ， ，又，点到的距离为，解得，故选B. 题型二 曲线与方程 1.曲线与曲线的交点有______个． 2．已知椭圆与轴交于两点，过椭圆上一点（不与重合）的切线的方程为，过点且垂直于轴垂线分别与交于两点，设交于点，则点的轨迹方程为__________． 椭圆，可得.由代入切线的方程，可得，即.由代入切线的方程，可得，即.可得直线CB的方程为 直线AD的方程为 可得 结合P在椭圆上，可得.即有. 代入可得， .故答案为. 3.过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点，若直线与圆相切，则直线与的交点的轨迹方程为__________. 直线AC，BD的斜率分别为 ，则直线AC，BD的方程分别为： ，据此可得： ， 则： ，直线CD的方程为： ， 整理可得： 直线与圆相切，则： ， 据此可得： ，由于： ，两式相乘可得： 即直线与的交点的轨迹方程为. 题型三 椭圆压轴题 1.已知离心率为的椭圆 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 两点.（1）求椭圆 方程；（2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标. （1）依题意：有解得，所以椭圆的方程为 （2）易知直线的斜率是存在的，故设直线方程为 由得：