2024年中考数学专项复习题 二次函数中的相似三角形问题

二次函数中的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（0，2）、C（3，0）． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E在该抛物线的对称轴上，如果以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似，求点E的坐标． 2．抛物线y＝x2+bx+c经过A、B(1，0)、C(0，﹣3)三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC． (1)求抛物线的解析式； (2)在线段AC上找一点M，使AOM∽ABC，请你直接写出点M的坐标 3．如图，二次函数的图像与x轴交于点A（－1，0），B（2，0），与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点M在此抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，过点M作MD⊥y轴，垂足为点D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标及⊙M的半径长． 4．如图，抛物线y＝ax2+k（a＞0，k＜0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），其顶点为C，点P为线段OC上一点，且PC＝OC．过点P作DE∥AB，分别交抛物线于D，E两点（点E在点D的右侧），连接OD，DC． (1)直接写出A，B，C三点的坐标；（用含a，k的式子表示） (2)猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)若∠ODC＝90°，k＝﹣4，求a的值． 5．已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点A，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作于点Q，连接AP（AP不平行x轴）． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，若，求点P的坐标． （3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将沿AP对折，点Q的对应点为，当点落在x轴上时，求点P的坐标． 6．如图，抛物线y=x-ax+b交x轴于A、B两点（点B在点A 的右边），交y轴的正半轴于C点． （1）若OC=2，∠OBC=30°，试确定a、b的值；       （2）若b=1，求证：△OAC∽△OCB． 7．在平面直角坐标系中，抛物线C1：（m为常数）的顶点为M，与y轴交于点N． （1）若点P（，a）在抛物线C1上，求a的值； （2）当点M到x轴的距离是时，求m的值； （3）在（2）的条件下，且m取有理数时，将抛物线C1绕点M旋转180°得到抛物线C2，设C2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），问在抛物线C2的对称轴上是否存在点Q，使∠AQB=∠ANB？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴交x轴于E点，且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BD，抛物线上是否存在点F，使？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，点P是直线上的动点（点P不在抛物线的对称轴上），过点P的两条直线，与抛物线均只有唯一公共点，且都不与y轴平行，，分别交抛物线的对称轴于点M、N，点G为抛物线对称轴上点M、N下方一点，且总满足，求点G的坐标． 9．已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D， （1）求物线的解析式 （2）求证：∠ACB＝∠ABD （3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB＝45°，求平移后的抛物线表达式． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的图像经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是． （1）求该抛物线的表达式和顶点坐标； （2）求的度数； （3）若抛物线与轴相交于点，直线交轴于点，点在线段上，当与相似时，求的长． 11．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过，，与轴交于点． （1）求地物线的解析式． （2）如图2，点为拋物线第四象限上一点，交轴于，设点的横坐标为，求线段的长与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE． ①若k＝1，求△CDE的面积； ②求证：CE∥AB． 13．如图，在同一直角坐标系中，抛物线：与轴交于和点C，且经过点，若抛物线与抛物线关于轴对称，点A的对应点为，点B的对应点为． （1）求抛物线的表达式； （2）现将抛物线向下平移后得到抛物线，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴与轴交于点N，试问：在轴的下方是否存在一点M，使与相似？若存在，请求出