5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（一）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（一） 【探究】 不用计算器，怎么求？能不能用和的三角函数值来表示？ 【两角差余弦公式的证明】 设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(，)，A1(，)，P(，)． ,由两点间的距离公式可得， 化简得 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 【典例分析】 【例1】利用公式证明： （1）；（2）. （2）. 【例2】化简求值： (1) cos75°； (2) cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ； (3) cos63°sin57°＋sin117°sin33°； (4) cosα＋sinα. 【例3】已知求的值 【变式】（1）已知sin＝，且<α<，求cosα的值． （2）已知α，β∈，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值． 【例4】 (1)已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β＝________. (2)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 【方法归纳】解决三角函数给值求角问题的方法步骤 1确定角的范围； 2求所求角的某种三角函数值，为防止增根最好选取在上述范围内单调的三角函数； 3结合三角函数值及角的范围求角. 【例5】已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，0<α<β<π，求cos(α－β)． 【答案解析】 【典例分析】 【例1】解：（1）， （2）. 【例2】解：(1)原式＝cos(120°－45°)＝cos120°cos45°＋sin120°sin45° ＝－×＋×＝. (2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30°＝. (3)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα. (4)原式＝cos (α－). 【例3】解： 【变式】（1）解：∵sin＝，且<α<，∴<α＋<π. ∴cos＝＝－. ∴cosα＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝. （2）解：因为α，β∈， 所以α＋β∈(0，π)，sin(α＋β)>0， sin(α＋β)＝＝，cosα＝＝， 所以cosβ＝cos(α＋β－α) ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－×＋×＝. 【例4】解：(1)因为α，β均为锐角，所以sinα＝， sinβ＝，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝×＋×＝. 又sinα<sinβ，所以0<α<β<， 所以－<α－β<0. 故α－β＝－. (2)由cosα＝，0<α<， 得sinα＝＝＝， 由0<β<α<， 得0<α－β<. 又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β) ＝＝＝， 由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝. 所以β＝. 【例5】解：因为(sinα＋sinβ)2＝，(cosα＋cosβ)2＝， 以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1， 所以cos(α－β)＝－ 学科网（北京）股份有限公司 $$