专题1.1 等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 等腰三有形（全章知识梳理与考点分类讲解）

【知识点一】全等三角形的判定与性质（知识回顾）

1.判定定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）

2.判定三角形全等的一般思路

已知两边找夹角→SAS

已知两边找第三边→SSS

已知一边一角边为角的对边→找任意一角→AAS

已知一边一角边为角的邻边找角的另一邻边→SAS

已知一边一角边为角的邻边找角的另一邻角→ASA

已知一边一角边为角的邻边找边的对角→AAS

已知两角找夹边→ASA

已知两角找角的对边→AAS

3.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等.

特别提醒

1.证明两个三角形全等需要三个条件，三个条件中至少有一组对应边相等.

2.证明两个三角形全等时，对应顶点必须写在对应的位置上.

3.“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是证明线段相等、角相等的重要依据.

【知识点二】等腰三角形的性质定理及其推论

1.性质定理 等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）.

2.推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及低边上的高线互相重合（简写成“三线合一”）.

3.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或低边上的高线、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴.

等腰三角形中特殊线段的性质

（1）等腰三角形两底角的平分线相等；

（2）等腰三角形两腰上的中线相等；

（3）等腰三角形两腰上的高线相等；

特别提醒

适用条件：必须在同一三角形中.

作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.

【知识点三】等边三角形的性质定理

（1）等边三角形内角的性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

（2）等边三角形的其他性质

①等边三角形的三条边都相等；

②等边三角形是轴对称图形，他有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；

③等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.

特别解读

等边三角形是特殊的等腰三角行，所以；

1.任意两边都可以作为腰；

2.任意一个角都可以作为顶角；

3.任意一边上都“三线合一”.

【知识点四】等腰三角形的判定定理

1.判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角行（简写成“等角对等边”）.

2.等腰三角形的性质定理与判定定理的异同

相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.

不同点：有三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.

特别提醒

“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系的到角相等，从而得到所对的边相等.

【知识点五】反证法

1.概念 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

2.用反证法证明结论的一般步骤

设：假设结论的反面是正确的.

归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果.

定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确.

用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否定已知条件.

特别解读

适合用反证法证明得命题类型：

1.结论以否定形式出现的命题；

2.唯一性命题；

3.结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题.

【知识点六】等边三角形的判定定理

1.判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形

2.判定定理2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

证明等边三角形的思维导图：

三角形思路1 三边相等等边三角形

三角形思路2 三角相等等边三角形

三角形等腰三角形等腰三角形有一个角等于等边三角形

三角形等腰三角形等腰三角形60°等边三角形

三角形的判定等腰三角形有一个角等于等边三角形

三角形的判定等腰三角形60°等边三角形

特别解读

在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，都可以用判定定理2判定等边三角形.

等边三角形的判定方法：

1.若已知三边关系，一般选用定义判定；

2.若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；

3.若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.

【知识点七】含30°角的直角三角形的性质

1.定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

几何语言：如图,在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=½AB

2.作用 应用于证线段的倍分关系和求线段的长短.

特别解读

应用此定理，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°，二者缺一不可.

【考点目录】

【考点1】等腰三角形的性质定理（等边对等角）➼求值或证明

【考点2】等腰三角形的性质定理（三线合一）➼求值或证明

【考点3】等腰三角形的性质定理（等角对等边）➼求值或证明

【考点4】等腰三角形的性质与判定➼求值或证明

【考点5】等边三角形的性质➼求值或证明

【考点6】等边三角形的判定➼求值或证明

【考点7】等边三角形的性质与判定➼求值或证明

【考点8】等边三角形的性质与判定（含的直角三角形）➼求值或证明

【考点9】反证法➼求值或证明

【考点1】等腰三角形的性质定理（等边对等角）➼求值或证明

【例1】（2023上·山西长治·八年级校考期中）如图所示，在中，，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交边于点E．

（1）当时，__________．

（2）当等于多少时，？请说明理由．