专题05 导数的综合问题（九大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）

专题05 导数的综合问题 思维导图 核心考点聚焦 考点一：构造函数解不等式问题 考点二：证明不等式 考点三：恒成立问题 考点四：能成立问题 考点五：零点问题 考点六：方程的根问题 考点七：双变量问题问题 考点八：实际应用问题 考点九：极值点偏移问题 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 3、函数零点问题的常见考点：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 1、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 2、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 考点剖析 考点一：构造函数解不等式问题 例1．（2024·陕西西安·高二统考）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·全国·高三专题练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 例3．（2024·湖北武汉·高二武汉市育才高级中学校联考期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点二：证明不等式 例4．（2024·浙江·高三专题练习）证明以下不等式： (1)； (2)； (3). 例5．（2024·全国·高二专题练习）当时，证明：不等式. 例6．（2024·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值; (2)证明:对于任意的正整数,不等式成立. 考点三：恒成立问题 例7．（2024·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数其中为常数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为． (1)求，的值与函数的单调区间； (2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围． 例9．（2024·陕西榆林·高二校考）已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 考点四：能成立问题 例10．（2024·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知函数. (1)若