3.3垂径定理（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册 第三章 圆 ✳3 垂径定理 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 复习回顾 1.圆即是 图形，也是 图形.其对称轴是任意一条过圆心的 .对称中心为 。 2.在 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 ． 轴对称 中心对称 圆心 直线 同圆或等圆 相等 一、创设情境，引入新知 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ A B C D O M 二、自主合作，探究新知 探究：垂径定理及其推论 这个图形是轴对称图形， 对称轴是直径CD所在的直线． 二、自主合作，探究新知 （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 A B C D O M 线段: AM=BM 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 二、自主合作，探究新知 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM， AC =BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ ∴AM=BM， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. A B C D O M 知识要点 二、自主合作，探究新知 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 推导格式： 注意：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. A B C D O M 二、自主合作，探究新知 练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A 注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦. × × √ B O C D A O C D E 例1：如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm，OE=6cm， 则AB= cm. · O A B E 二、自主合作，探究新知 典型例题 解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 ∴ cm. 想一想：如图，AB是☉O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B C D O M 二、自主合作，探究新知 ③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 已知： ① CD是直径 ② AM=BM （2）分析： 可推得 △AOM≌△BOM （1）是轴对称图形，对称轴是直线CD所在的直线. 二、自主合作，探究新知 ∴由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）证明：连接AO,BO,则AO=BO, 又∵AE=BE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. A B C D O M 二、自主合作，探究新知 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 知识要点 例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. ● O C D E F ┗ 二、自主合作，探究新知 解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 典型例题 【方法总结】常用辅助线：连接半径，由半径、半弦长、弦心距构造直角三角形． 三、即学即练，