1.3正方形的性质与判定讲义2023-2024学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定 知识梳理 1、正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2、正方形的性质： ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 3、正方形的判定： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 基础训练 一、单选题 1．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF，点P、Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则△PQD的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．等腰直角三角形 2．如图，连接有一个公共顶点的正方形和正方形的顶点．若两个正方形的面积和为225，．则的形状是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断 3．下列说法中错误的是（ ） A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 4．有以下4个命题，其中正确的命题有（ ） ①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是菱形； ③两条对角线互相垂直的四边形是正方形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法中，不正确的是（ ） A．平行四边形的邻角相等 B．矩形的对角线互相平分且相等 C．菱形的四条边相等 D．正方形的面积等于对角线乘积的一半 6．正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，正方形的边长为2，则的面积为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 7．如图，正方形 ABCD 的边长为 3， ABE 15° ，且 AB AE ，则 DE =（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，BE平分交AC于E, 于F，交BD于G，则下列结论①OE=OG；②CE=；③；④CF平分.其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动：同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以acm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P，Q同时停止移动．设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，线段EF所在的直线对应的函数关系式为y＝﹣4x+21，则a的值为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 10．如图，正方形中，，分别为，上的点，，，交于点，交于点，为的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．下列叙述：①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等；②“相等的角是对顶角”是真命题；③等腰梯形是轴对称图形；④顺次连接矩形的各边中点一定构成正方形．其中正确的是_______（填写序号）． 12．如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是____. 13．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则____度． 14．顺次连接矩形四边中点所构成的四边形是__________． 15．如图，正方形中，点在上，交、于点、，点、分别为、的中点，连接、，若，，则______. 三、解答题 16．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点． 求证： ． 17．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交点G，求证：AG＝CG． 18．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由； （3）当M点在何处时，2AM＋BM的值最小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3正方形的性质与判定 知识梳理 1、 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2、正方形的性质： ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条