4.7相似三角形的性质讲义2023-2024学年北师大版数学九年级上册

4.7相似三角形的性质 知识梳理 1、 相似三角形的性质 1　 相似三角形对应角相等，对应边成比例. 2　 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3　 相似三角形周长的比等于相似比. 4　 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 2、相似三角形的周长与面积 5　 相似三角形周长的比等于相似比. 6　 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 基础训练 一、单选题 1．如图，已知，，则下列等式一定成立的是( ) A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为（　　） A．3 B．15 C．9 D．3+3 3．若△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝4∶9，则△ABC与△DEF的相似比为( ) A．∶ B．2∶3 C．4∶9 D．3∶2 4．如图，已知于，于，要计算，两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：，；乙：，，； 丙：和；丁：，，．其中能求得，两地距离的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ） A．20 B．22 C．24 D．26 6．若两个相似三角形的相似比是，那么它们的周长之比是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形ABCD中，点E在AB边上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处．若AE=5，BF=3，则CF的长为（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 8．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知，，，则的长是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为( ) A． B． C． D． 10．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC与含30°角的直角三角板DCB)按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于_________． 12．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形；…，按照这样的规律作正方形，则点的纵坐标为__________． 13．一个三角形的边长分别为5 cm，8 cm，12 cm，另一个三角形的最长边为7.2cm，则当另一个三角形的另外两边长是_______________cm时，这两个三角形相似． 14．△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD =1，BD=3，则△ADE与△ABC的面积之比为___________. 15．如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论： ①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤． 其中正确的结论有__________． 三、解答题 16．如图所示，在平行四边形中，于，平分交线段于． （1）如果，求证：； （2）一般的情况下，如果，试探究线段、与之间的所满足的等量关系(其中，是已知数)． 17．问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′． （1）当AD=3时，= 　； （2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示． 问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD=BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示． 18．如图，正方形中，，P为CD边上的一点，过P点作BP的垂线交AD于点E，交BC的延长线于点F. （1）判断线段DE、CF、CP之间的数量关系，并说明理由. （2）若，，写出y与x之间的函数关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.7相似三角形的性质 知识梳理 1、 相似三角形的性质 1　 相似三角形对应角相等，对应边成