2.5一元二次方程的根与系数的关系讲义2023-2024学年北师大版数学九年级上册

2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 1、 根与系数的关系 1　 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2= 2　 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q 3　 以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2－（x1+x2）x+x1x2=0 基础训练 一、单选题 1．若一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（ ） A．3 B．-3 C．1 D．-1 2．若关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则a的取值范围为（　　） A．a＞0 B．﹣2＜a＜﹣1 C．﹣＜a＜﹣1 D．﹣＜a＜﹣2 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 A．2 B．-2 C．4 D．-4 4．已知关于x的方程两个根互为相反数，则m的值为（ ） A．±2 B．-2 C．2 D．4 5．若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ） A．-7 B．7 C．3 D．-3 6．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（　　） A．6 B．8 C．14 D．16 7．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣7 B．k≥﹣7 C．k≥0 D．k≥1 8．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 9．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则的值为（ ） A．-3 B．1 C．-3 或1 D．2 10．如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ） A．9 B．1 C．3 D．7 二、填空题 11．若方程的解为，则的值为_____________． 12．已知关于x的方程x2＋x-3＝0两根为x1, x2, 则x1+x2＝__，x1·x2＝__ . 13．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x1＋x2=______，x1·x2= _____． 14．若关于x的方程x2＝P的两根分别为m+1和m﹣1，则P的值为_____． 15．实数a、b满足，则_______. 三、解答题 16．不解方程，判断下列方程的根的个数： ①； ②； ③； ④． 17．已知，a=﹣+1 （1）求a、c的值； （2）若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是1，求b的值和方程的另一个根． 18．关于的一元二次方程－4＋＝0有两个不相等的实数根，请你选择一个的整数值，并求出方程的根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 1、 根与系数的关系 1　 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2= 2　 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q 3　 以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2－（x1+x2）x+x1x2=0 基础训练 一、单选题 1．若一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（ ） A．3 B．-3 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的根与系数的关系，可求方程的另一个根． 【详解】 解：设、是关于的一元二次方程的两个根， 关于的一元二次方程的一个根是0， 由一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），得，即， 即方程的另一个根是． 故选：B． 2．若关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则a的取值范围为（　　） A．a＞0 B．﹣2＜a＜﹣1 C．﹣＜a＜﹣1 D．﹣＜a＜﹣2 【答案】D 【分析】 首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据两个不相等的实数根都在-均大于﹣1且小于0，结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围． 【详解】 解： ∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根 ∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0， 解得：a 设f（x）=ax2-3x-1，如图， ∵两个实根均大于﹣1且小于0 ∴ ， ∴ 且有f（-1）＜0，f（0）＜0， 即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0， 解得：a＜-2， ∴﹣＜a＜﹣2 故选：D． 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】B 【详解】 试题分析：一元二次方程的根与系数的关系有：，．由此可直接得出，故选B. 4．已知关于x的方程两个根互为相反数，则m的值为（ ） A．±2 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【