1.1.1 探索勾股定理 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

1.1 勾股定理 北师大版·八年级上册 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行计算．（难点） 学习目标 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧. 情境引入 A、B、C的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？ A B C 让我们一起探索这个古老的定理吧！ A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图2-1 图2-2 A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 勾股定理的初步认识 一 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图2-1 图2-2 分“割”成若干个直角边为整数的三角形. =18(单位面积) S正方形c A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图2-1 图2-2 (2)在图2-2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？ (3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积. A B C a c b SA+SB=SC 观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ a2+b2=c2 ┏ a2+b2=c2 a c b 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾 股 弦 勾股定理 (毕达哥拉斯定理) 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 总结归纳 定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 勾股定理 求下列直角三角形中未知边的长: 练一练 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得： 82+ x2=172 即:x2=172-82 x=15 解:由勾股定理可得： 52+ 122= x2 即：x2=52+122 x=13 例1 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 利用勾股定理进行计算 二 典例精析 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 方法总结 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16； 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 例2 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形． 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 方法总结 解析：因为AE＝BE， 所以S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又因为AE2＋BE2＝AB2， 所以2AE2＝AB2， 所以S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又因为AC2＋BC2＝AB2， 所以阴影部分的面积为 AB2＝ . 例3 如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________． 方法总结 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系． 变式：1、在Rt△ABC中， ∠A，∠B，∠C 的对边分 别为a，b，c， ∠ C=90°． （1）已知a=3，