预习篇 第8讲 平面向量的概念与运算 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第8讲 平面向量的概念与运算 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 向量的概念 (1) 既有大小又有方向的量叫作向量. (2) 向量的几何表示 向量可以用有向线段表示，也可以用字母. 向量的长度是向量的模，记作. (3) 常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量，记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 若是单位向量，则 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作(即) 2 向量的加法运算 (1) 三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即. (2) 平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量，，以,为邻边作，则以为起点的向量 （是的对角线）就是向量与的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 3 向量的减法运算 （1）相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. （2） 向量的减法 向量加上的相反向量，叫做与的差，即, 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法可以转化为向量的加法进行. （3）向量减法的几何意义 当同起点时，可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 4 向量数乘运算 （1）一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反. （2）线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量 对于任意向量，以及任意实数，，，恒有. （3） 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 【题型1】 向量的相关概念 【知识点解读】 1 向量的概念 既有大小又有方向的量叫作向量 (1) 对一块豆腐施加向下的力与向上的力，虽然力的大小一样，但方向不同，最后产生的效果不一样. 故研究既有大小又有方向的量是存在实际必要性的，你还能举出生活中什么例子么？ (2) 力、位移、速度等是向量，而只有大小没有方向的量称为数量，如身高、颜值、体积等. (3) 物理中称向量是矢量，数量为标量. 2 向量的几何表示 向量可以用有向线段表示，也可以用字母. (1)在线段中，以为起点，为终点，我们就说线段具有方向，具有方向的线段叫做有向线段； (2)向量是以为起点，为终点的；起点写在终点前面； (3)向量的长度是向量的模，记作. 3 常见向量的概念 (1) 零向量：长度为0的向量，记作；零向量的方向是任意的 （2）单位向量 长度为一个单位长度的向量；若是单位向量，则 （3）相等向量 有什么量是会受位置影响的呢？学过物理的都会说：重力，贵哥在月球和在地球的重力肯定不一样的，但是贵哥的颜值则不管在月球还是在地球都是那么高的，颜值这个量就不受位置的影响. 若向量与向量的方向相同且大小相等，则，与向量的起点无关，即说白就是相等向量不受位置的影响，可以任意平行移动的！ (2) 平行向量(共线向量) 平面向量在平面内可以任意平行移动，而线段不一样，则两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一中线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二中向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 故平行向量与共线向量是同一个概念； 【典题1】给出下列结论： (1)若，则； (2)向量的模一定是正数； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (4)向量是共线向量，则四点必在同一直线上． 其中正确结论的序号是________． 【典题2】若四边形满足：且，则四边形的形状是(　　) A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【巩固练习】 1. (★)给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 2. (★)下列命题正确的是( ) A．若，，则 B．向量与向量的长度相等 C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 3. (★)下列说法中正确的是(　　) A．所有单位向量相等 B．零向量是没有方向的向量