第四章 数列 讲义-2023-2024学年高二人教A版(2019)数学选择性必修第二册必备知识与能力盘点1

综合复习——《数列》 成功六必：书必读、基必牢、看必准、算必对、说必明、错必改——你都做到了吗？ 一、掌握每个知识点的典型类型的通性通法：重点知识再现、基本方法重温、基本技能过手. 二、归纳总结每类基本题型的方法及易错、易混、易漏点 选择性必修二第四章 《数列》必备知识与能力盘点 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式 2. 用函数的思想理解数列，注意数列单调性、最值等 2.1数列单调性的判断与应用 举一反三（1） 下列是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】对于A， ，是摆动数列，不符合题意； 对于B， ，符合题意； 对于C， ，当 时， ，符合题意； 对于D， ，当 时， ，不符合题意； 故选：BC. （2）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）； 2.2最值问题 举一反三（1）已知，则在数列的最大项为__（答：）； （2）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 【解析】因为， 所以， 又，所以当时，此时单调递增， 当时，此时单调递减，又， 所以存在最大项，不存在最小项. 综上可得当时单调递增，当时单调递减，存在最大项，不存在最小项. 2.3图象与性质 举一反三（1）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ） （答：A） 3.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法：定义法或。如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。 （2）等差数列的通项：或。 举一反三(1)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：） （3） 等差数列的前和：，。 举一反三（1）数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）； （2）等差数列中，，的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任意正数k，均存在使得成立． 【解析】（1）设数列的公差为d，于是， 因为，所以，所以， 解得，则. （2）由（1）可知，所以，， 考虑，即，即， 由于，则时，，且， 结合上述不等式得，整理得， 任取整数，则，原不等式成立， 于是对于任意正数k，均存在使得成立． （4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 注意：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2） 4.等差数列的性质： 4.1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. 举一反三(1)是公差为2的等差数列的前n项和，若数列也是等差数列，则________. 【答案】或3 【解析】由题意， ∵数列是等差数列 ∴，，解得或， 时，，时，，均为的一次函数，数列是等差数列， 故答案为：或3. 【技巧】本题考查等差数列的前项和公式，考查等差数列的证明，如果数列的通项公式是的一次函数，则数列一定是等差数列． 4.2若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 4.3当时,则有，特别地，当时，则有. 举一反三（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）； (2)等差数列中，，则＝____（答：27）； (3)在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0　　B、都小于0，都大于0　　C、都小于0，都大于0　　D、都小于0，都大于0　（答：B） (4)已知等差数列的前项和为，且，则 【答案】 【解析】由题意得， 4.4若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 4.5:等差、等比数列的联系:若是等差数列，则成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 举一反三:设等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和．若，求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以． （2）令，所以， 根据，可得， 整理得，因为，所以． 4.6若是等差数列，则 ，…也成等差数列， 举一反三:等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225） 4.7在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。 举一反三:（1）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. 4.8若等差数列、的前