第四章 数列讲义-2023-2024学年高二人教A版(2019)数学选择性必修第二册必备知识与能力盘点2专项突破

综合复习——《数列》 成功六必：书必读、基必牢、看必准、算必对、说必明、错必改——你都做到了吗？ 一、掌握每个知识点的典型类型的通性通法：重点知识再现、基本方法重温、基本技能过手. 二、归纳总结每类基本题型的方法及易错、易混、易漏点 选择性必修二第四章 《数列》必备知识与能力盘点（2）专项突破 10.数列的通项的求法： 10.1公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 举一反三:已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：） 10.2已知前项和求 已知（即）求，用作差法：。 举一反三:①已知的前项和满足，求（答：）； ②数列满足，求（答：） 10.3已知前n项积求通项:已知求，用作商法：。 举一反三:数列中，对所有的都有，则______（答：） 10.4累加法:若求用累加法：。 举一反三:已知数列满足，，则=________（答：） 10.5累乘法 已知求，用累乘法：。 举一反三:已知数列中，，前项和，若，求（答：） 10.6已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，注意形如与（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。 举一反三:①已知，求（答：）； ②已知，求（答：）； 10.7“项和”递推：一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。 举一反三:(1) 为数列{}的前n项和．已知＞0，=． 求{}的通项公式： 【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3， 当时，==，即，因为，所以=2， 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=； (2) 数列满足，求（答：） 注意：用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）； (3)已知数列的前n项和为，且满足． 证明：是等差数列； 解：根据题意，， 所以，则， 所以，所以是等差数列． 10.8“项积”递推：一般地当已知条件中含有与前n项积的混合关系时. 举一反三:已知数列各项均不为0，其前项的乘积. （1）若为常数列，求这个常数； （2）若，设，求数列的通项公式. 【答案】（1）2 （2） 【解析】（1）已知，当时，有， 因为为常数列，所以,故这个常数为2. （2）已知， 所以当时，， 两边同时取对数，则， 当时，，， 因此的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以 所以数列的通项公式为 10.9.倒数法 形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 举一反三:(1)已知，求（答：）； (2)已知数列满足=1，，求（答：） (3)已知数列的首项，满足 （I）求证：数列为等比数列； （II）记数列的前n项的和为Tn，求满足条件的最大正整数n. 解：（I）由于，， 即…（3分） 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列…（5分） (II)由（1）可知：…（6分） 则，且关于n是递增的…（8分） 又，，所以满足条件的最大正整数…（10分） 11.数列求和的常用方法： 11.1公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，. 举一反三:等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）； 11.2求数列的前项和 举一反三:已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）. 11.3分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见可求和的数列，然后分别求和，再将其合并即可。 举一反三:求：数列满足，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，，数列的前项和为，求对任意都成立的最小正整数. （参考公式：，） 【答案】（1） （2）1012 【解析】（1）， 当时，， 作差，得，即. 因为，，所以，满足， 即为常数列，即，. （2）由题意，， 即. 设，， 则 ， ， .因为对任意都成立， 所以，即，的最小值为1012. 11.4倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 举一反三:设f(x)＝，若 ，则S＝ 　∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1. ①② ①＋②， 得 =2019 ∴ 11.5并项法:在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 举一反三:(1)若数列的通项公式是,则= 【答案】15 【解析】 ． (2）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令=求数列的前项和． 【解析】（Ⅰ） ,解得 （Ⅱ），