7.1.2 复数的几何意义(教学设计)-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

7.1.2复数的几何意义 教学设计 一、教学目标 1.理解可以用复平面内的点和向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模等概念以及用向量的模来表示复数的模的方法. 3.通过对复数的几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养. 二、教学重难点 1.教学重点：理解复数的几何意义； 2.教学难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及求复数的模和有关模的运算. 三、教学过程 1、复习引入 （1）复数的定义 我们把形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. （2）复数的表示 复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 复数相等的充要条件 在复数集中任取两个数,规定与相等当且仅当. 【设计意图】通过复习已经学过的知识，引出新的知识点，帮助学生更好地理解和掌握新的概念和技能.这种引入方式有助于学生在原有知识的基础上，自然地过渡到新的学习内容. 2、新知探索 探究1：复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？ 问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系． 复平面 点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，． 显然，实轴上的点都表示实数； 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 【设计意图】图像可以直观地展现出数学概念和性质，使得抽象的数学概念变得更易于理解和掌握. 练习1： 复平面内的原点表示实数０， 实轴上的点表示实数２， 虚轴上的点表示纯虚数， 点表示复数等． 练习2：说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为１）． 练习3在复平面内，描出表示下列复数的点： 【设计意图】学生板演，巩固新知. 问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复数吗？ 如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 实数０与零向量对应 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 3、复数的几何意义 注：在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的．后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图．正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面纱”，确立了复数在数学中的地位． 【设计意图】更加形象直观的反应复数的两种几何意义，使学生更容易掌握复数的几何意义. 探究2：复数的模 复数的模：图中向量向量的模叫做复数的模或绝对值，记作．即， 其中． 如果，那么是一个实数，它的模就等于（的绝对值）． 例２设复数． （１）在复平面内画出复数对应的点和向量； （２）求复数的模，并比较它们的模的大小． 解：（１）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为． 练习4已知复数 （１）在复平面内画出这些复数对应的向量； （２）求这些复数的模． 解：(1)这些复数对应的向量分别如图所示： 【设计意图】数形结合可以更全面地考虑问题，既考虑数量关系，又考虑几何意义，使得理解更全面. 探究3：共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即如果，那么． 问题3：如果是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 关于x轴对称 例4设，在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点点的集合是什么图形？ （１）；　　　　（２）． 解：（１）由得，向量的模等于１，所以满足条 件的点的集合是以原点O为圆心，以１为半径的圆． （２）不等式可化为不等式 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合．容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界． 【设计意图】在解决一些复杂的数学问题时，数形结合可以提供一种更便捷的解题思路，简化问题. 4、课堂小结 1.复数几何意义 2.复数的模 3.共轭复数如果，那么． 5、课后作业 习题7.1第8,10题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$