8.3.2 独立性检验（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

8.3.2 独立性检验 教学设计 1、 课时教学内容 (1)统计最基本的思想：用样本推断总体，而估计和假设检验是两种基本而重要的推断方法．在前面的学习中，主要学习了统计估计的推断方法．例如，用样本数据的均值和方差分别估计总体的均值和方差；用样本相关系数估计两个数值变量的相关系数，从而推断这两个变量线性关系的密切程度；利用最小二乘思想估计一元线性回归模型中的参数等． (2)假设检验：统计推断的一种基本形式，其基本思想是根据观察或试验的结果去检验一个假设(零假设)是否成立，即通过样本的某个指标对总体的某种属性进行推断，推断的结果是拒绝或接受零假设．独立性检验是假设检验的一个特例． (3)独立性检验的基本原理：根据观测值与期望值的差异的大小作出推断，这种差异由卡方统计量进行刻画，其大小的标准根据推理有关联时犯错误的概率确定． (4)独立性检验的依据是小概率原理：即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生．在零假设成立的条件下，若一个不利于零假设的小概率事件在一次试验中发生了，则有理由拒绝零假设；若在一次试验中，此小概率事件没有发生，则没有充足的理由拒绝零假设，通常会接受零假设． 2、 课时教学目标 1.通过实例，理解2×2的统计意义; 2.通过实例了解2×2列联表与独立性检验 及其应用; 3.会根据 χ2 的值判断两个分类变量之间 关系的强弱 3、 教学重点、难点 1. 重点：2×2列联表，独立性检验的思想和方法． 2. 难点：卡方统计量的导出和意义，独立性检验的思想和方法． 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 (1)旧知回顾：在上一节课，我们学习了列联表，由随机事件的稳定性，了解并作出判断两个分类变量是否有关联，请同学们思考：用频率推断两个分类变量是否独立有什么缺点？ 前面我们通过列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联． 引导学生对频率与概率的比较，由频率具有随机性，与概率之间存在差异；通过数据改变，由样本容量较小时，犯错误的概率较大． (2)问题激发：有没有更合理的推断方法，同时也希望对出现的错误推断的概率一定的控制或估算？由概率知识分析，如果两个事件的独立，它们的充要条件是什么？ 我们需要更好的方法弥补因频率的随机性带来判断两个分类变量的不可靠性，改进提高判断的结论科学性与稳定性．如何改进提高，先回头看独立事件，我们已知道，事件与事件独立的充要条件是，这与两个分类变量的频率之间又有什么样的联系呢？ 对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大．因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算． 考虑以为样本空间的古典概型． 我们将两个分类变量的列联表抽象简化，以0，1分别表示事件发生的两种结果，如下表所示，独立的另一层含义，即我们需要了解事件与是否存在关联？ 我们知道与不独立，互为对立事件，与不独立，互为对立事件． 我们需要判断下面的假定关系：是否成立？ 设和为定义在上，取值于的成对分类变量．我们希望判断事件和之间是否有关联．注意到和，和都是互为对立事件，与前面的讨论类似，我们需要判断下面的假定关系 是否成立，通常称为零假设或原假设． 这里，表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率，而表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率． 由条件概率的定义可知，零假设等价于 或 ① 注意到和为对立事件，于是，再由概率的性质，我们有 ． 由此推得①式等价于 ． 因此，零假设等价于与独立． 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价： 与独立；与独立；与独立；与独立． 如果这些性质成立，我们就称分类变量和独立，这相当于下面四个等式成立： ；； ；． 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为： ：分类变量和独立． 根据我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表8.3-3所示． 表8.3-3 合计 合计 8.3-3是关于分类变量和的抽样数据的列联表：最后一行的前两个数分别是事件和的频数；最后一列的前两个数分别是事件和的频数；中间的四个数是事件的频数；右下角格中的数是样本容量． 对于随机样本，表8.3-3中的频数a，b，c，d都是随机变量，而表8.3-2中的响应数据是这些随机变量的一次观测结果． 环节二 观察分析，感知概念 思考：如何基于②中的四个等式及列联表8.3-3中的数据，构造适当的统计量，对成对的分类变量X和Y是否相互独立作出推断？ 在零假设成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式，我们可