8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （第2课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时） 导学案 学习目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 重点难点 1. 重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法. 2. 难点：求最小二乘估计，残差分析. 课前预习 自主梳理 知识点一：残差的概念 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回归方程得到的称为 ，观测值减去预测值称为 ．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为 ． 知识点二：刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时 为残差， 可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． (2)残差平方和法 残差平方和 (yi－i)2，残差平方和 ，模型拟合效果越好，残差平方和 ，模型拟合效果越差． (3)利用R2刻画回归效果 决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力． R2＝1－，R2越 ，即拟合效果越好，R2越 ，模型拟合效果越差． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好．( ) (2) 在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．( ) (3) R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好．( ) 2.在研究体重与身高的相关关系中，计算得到相关指数，则（　　） A．是解释变量 B．只有的样本符合得到的相关关系 C．体重解释了的身高 D．身高解释了的体重 3.在最小二乘法中，用来刻画各样本点到直线“距离”的量是（    ） A． B． C． D． 4.某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表： 零件数/个 12 23         31 加工时间/分 15 30 45 现已求得上表数据的回归方程中的值为1.6，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（    ） A．155分钟 B．156分钟 C．157分钟 D．158分钟 5.广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 1 2 4 5 销售额（万元） 10 26 35 49 根据上表可得回归方程的约等于，据此模型预估广告费用为万元时，销售额为（   ） A．55万元 B．53万元 C．57万元 D．59万元 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高，在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程． 表8.2-3 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关．如果是，再利用公式(2)计算出，即可． 解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到图8.2-9． 在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系． 用d表示胸径，表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为 ， 相应的经验回归直线如图8.2-10所示， 根据经验回归方程，由表8.2-3中胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，如表8.2-4所示 表8.2-4 编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m 1 18.1 18.8 19.35 -0.6 2 20.1 19.2 19.85 -0.7 3 22.2 21.0 20.37 0.6 4 24.4 21.0 2