8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时） 导学案 学习目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 重点难点 1. 重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法. 2. 难点：求最小二乘估计，残差分析. 课前预习 自主梳理 知识点一：一元线性回归模型 我们称 为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 知识点二：线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心(，)，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将＝x＋称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate )，其中 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差．(×) (2) 线性回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线过样本点的中心(，)．(√) 【答案】（1）×（2）√ 2.某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅．现收集了该图书馆五年的借阅数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得y关于x的线性回归方程为，则下列说法中错误的是（    ）． A． B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的第75百分位数为5.7 C．y与x的线性相关系数 D．2021年的借阅量一定少于6.12万册 【答案】D 【分析】对于A：根据线性回归方程必过样本中心点运算求解；对于B：根据百分位的定义运算求解；对于C：根据相关系数的定义分析判断；对于D：根据回归方程的进行预测. 【详解】对于选项A：年份代码x的平均数， 年借阅量y的平均数（万册）， 则，解得，故A正确； 对于选项B：因为，所以借阅量的第75百分位数为5.7，故B正确； 对于选项C： 因为，所以y与x的线性相关系数，故C正确； 对于选项D：由选项A可得：， 令，可得， 预计2021年的借阅量为6.12万册，但并不能确定具体结果，故D错误； 故选：D. 3.某单位为了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，如下表，由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数是（    ） 气温（） 20 16 12 4 用电量（度） 14 28 44 62 A．70 B．6.8 C．64 D．62 【答案】A 【分析】求出的值，进而求得，将代入可得答案. 【详解】由图表可得， 故，则， 将代入可得， 即预测当气温为时，用电量的度数是70度， 故选：A 4.具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其回归直线方程是，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出样本中心点，再代入回归直线方程，即可求解. 【详解】因为， 所以，. 因为回归直线方程是，所以，即，解得：=. 故选：C 5.已知与之间的一组数据： 1 2 3 4 0.5 3.2 4.8 7.5 若关于的线性回归方程为，则的值为（    ） A．1.25 B．-1.25 C．1.65 D．-1.65 【答案】D 【分析】根据最小二乘法计算即可求出答案. 【详解】解：由表中数据得，，， ， 所以，， 故选：D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 在一元线性回归模型中，表达式刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计．由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近． 问题1：从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？ 【设计意图】明确问题，指明思考的方向，引发学生思考. 思路1：先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线． 问题2.我们怎样寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条