8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时） （教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

oo 上好课 xue ke wang:两步随B 人教A版2019选择性必修第三册 数学 讲样过必健 第三册 第8章《成对数据的统计分析》 8,22-元线性回归模型参数的 最小二乘估计（第1课时） 学习目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用 相关统计软件， 2.了解非线性回归模型。 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果。 环节一：创设情境，引入课题 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x 之间的线性相关关系，其中参数和b未知，需要根据成对样本数据进行 估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因 此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使 表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近 探究 利用散点图8.2-1找出一条直线， 使各散点在整体上与此直线尽可能接 近 有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线 测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的 和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直 线，如图8.2-2所示. 儿子身高/cm 190 185 180 175 170 165 父亲身高/cm 160 160 165 170 175 180 185 图8.2-2 有的同学可能会想，可以在图中选择这样的两点画直 线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线 作为所求直线，如图8.2-3所示. 儿子身高/cm 190 185 180 175 170 165 父亲身高/cm 160 160 165 170 175 180 185 图8.2-3 环节二：观察分析，感知概念 还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些 直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图8.2-4所 示 同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作， 我们需要另辟蹊径先进一步明确 我们面临的任务：从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线 最接近”儿子身高/cm 190 185 180 175 170 165 160 父亲身高/cm 160 165 170 175 180 185 图8.24 通常，我们会想到利用点到直线y=bx+α的“距离”来刻画散点与该直线的接近程 度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度我们设满 足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为(x1,片)，(2，y2,L,(化，yn),由y, bx,+a+e,i=1,2,L,n),得y-(bx,+a)=e,显然e,越小，表示点(，y)与点 (x,bx,+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如图 82-5所示.特别地，e,=0时，表示点(x,y,)在这条直线上. 儿子身高/cm 190 185 180 175 170 165 、 父亲身高/cm 160 60 165 170 175 180 185 因此，可以用这n个竖直距离之和y,~(bx,+)来刻画各样本观测数 i-1 据与直线y=bx+a的“整体接近程度” 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线 的竖直距离的平方之和0=8(y,~bx,~4)来刻画“整体接近程度” i=1 在上式中，x,y,(i=1,2,3,n)是已知的成对样本数据，所以Q油a和b所决定 即它是a和b的函数.因为Q还可以表示为？，即它是随机误差的平方和，这 i=1 个和当然越小越好，所以我们取使Q达到最小的和b的值，作为截距和斜 率的估计值。 环节三：抽象概括，形成概念 下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a,b. 记=1心，=A,因为 n i=1 n i=1 2(a,b)=80y,-bx,-a)'=aby,-bx,-(①-b)+()-b)-2 i=1 i=1 =a0y,可)-b(x)+(-b知)-a 1 =ay,-)-b(x-x)2+28y,-)-b(x,-x'I(-b)-a+⑤-b)-a i=1 i=1 注意到ay-)-b(xI⑤-b-a)=(-b-aa心，-)-b(x,-引 =(-h-a--b经(G8-(-bc-aj--b际.1=0 ei= 所以Q(a,b)=8y,-)-b(x,-x+n(①-b-a)2, i=1 上式右边各项均为非负数，且前项与a无关.所以，要使Q取到最小值， 后一项的值应为0.即a=y-bc. 此时0(a,b)=ay,-)-b(x,-)川 =b2a(x-)2-2b8(x,-x)y,-)+8U,-)2. i-1 i-1 i=1 上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 8(-(y