8.1.2 样本相关系数 （导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

8.1.2 样本相关系数 导学案 学习目标 1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 重点难点 1.重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法. 2.难点：求最小二乘估计，残差分析. 课前预习 自主梳理 知识点一 相关关系的刻画 1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数 (1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度， 其中r＝. (2)样本相关系数r的取值范围为 ． ①若r>0时，成对样本数据 相关； ②若r<0时，成对样本数据 相关； ③当|r|越接近 时，成对样本数据的线性相关程度越强； ④当|r|越接近 时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 知识点二 相关系数r的性质 (1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． (2)样本相关系数r的取值范围为 ． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 ． 知识点三 样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 r＝x′·y′＝|x′||y′|cos θ＝cos θ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝，θ为向量x′和向量y′的夹角)． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．( ) (2) 若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系．( ) (3) 样本相关系数r的范围是r∈(－∞，＋∞)．( ) (4) 变量之间只有函数关系，不存在相关关系．(　　) (5) 两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响．(　　) (6) 两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．(　　) (7) 若相关系数r＝0，则两变量x，y之间没有关系．(　　) 2.在线性回归模型中相关指数越大，则模型的拟合效果（    ） A．越差 B．越好 C．与拟合效果的好坏没有关系 D．三者都不正确 3.在一组样本数据，，…，（不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 A．－1 B．0 C．2 D．1 4.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（    ） A． B． C． D． 5.对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．0.2 B．0.8 C．－0.98 D．－0.7 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等．散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小． 能否像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和．将数据以为零点进行平移，得到平移后的成对数据为 ，，…，． 并绘制散点图． 利用上述方法处理表8.1-1中的数据，得到图8.1-3．我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号．显然，这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的． 环节二 观察分析，感知概念 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图8.1-4(1)所示；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如图8.1-4(2)所示． 思考：根据上述分析．你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？ 从上述讨论得到启发，利用散点的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量 ． 一般情形下，表明成对样本数据正相关；表明成对样本数据负相关． 环节三 抽象