8.1.2 样本相关系数（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

8.1.2 样本相关系数 教学设计 1、 课时教学内容 本节的主要内容是一元线性回归模型，它是线性回归分析的核心内容，也是后续研究两变量间的相关性有关问题的基础.通过散点图直观探究分析得出的直线拟合方式不同，拟合的效果就不同，它们与实际观测值均有一定的偏差.在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程中，解决用数学方法刻画从整体上看各观测点到拟合直线的距离最小的问题，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于他们更好地理解核心概念“经验回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值. 就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽.了解最小二乘法思想，将其与各种估算方法进行比较，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是在体会此思想的过程中促进学生对核心概念进一步理解的需要.最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科的随机思想，也是本节课需要渗透的. 2、 课时教学目标 1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 3、 教学重点、难点 1.重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法. 2.难点：求最小二乘估计，残差分析. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等．散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小． 能否像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和．将数据以为零点进行平移，得到平移后的成对数据为 ，，…，． 并绘制散点图． 【师生活动】观察撒点图代表的数据的正负大小等特征，并根据特征尝试进行构造统计量。 预设结果：没有明显的特征 【师生活动】对数据进行中心化处理再观察数值特征 利用上述方法处理表8.1-1中的数据，得到图8.1-3．我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号．显然，这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的． 环节二 观察分析，感知概念 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图8.1-4(1)所示；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如图8.1-4(2)所示． 预设结果：线性负相关：基本异号；线性正相关：基本同号 思考：根据上述分析．你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？ 从上述讨论得到启发，利用散点的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量 ． 一般情形下，表明成对样本数据正相关；表明成对样本数据负相关． 环节三 抽象概括，形成概念 思考：你认为的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？ 因为的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小．例如，在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高的单位由米改为厘米，则相应的将变为原来的100倍，但单位的改变并不会导致体重与身高之间相关程度的改变． 追问3 如果数据的单位发生变化，上面的统计量是否仍适用? 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理．我们用 ，． 分别除和，得 ，，…，， 为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为 ，，…，． 仿照的构造，可以得到 ． （1） 【师生活动】用具体的实例进行验证。在研究体重与身高之间的相关程度时,如果体重的单位不变,把身高单位由米改为厘米，单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度。考查的变化。 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数（sample correlation coefficient）． 这样，我们利用成对样本数据构造了样本相关系数r．样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征： 问题4样本相关系数r的正负能反映出成对变量的什么关系？ 当时，称成对样本数据正相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大． 当时，称成对样本数据负相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大