第二章二次函数 二次函数基础考点题型讲义2023-2024学年北师大版九年级数学下册

有志者事竟成 九上第二章 一元二次方程应用分类 九下第二章二次函数基础考点题型讲义 考点概述： 1， 定义：若两个变量x、y之间的对应关系可以表示成y=a+bx+c (a ,b, c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二 次函数，其中x是自变量。 2， 一般形式：任何一个二次函数的关系系都可以化简成为y=a+bx+c (a ,b, c是常数，a≠0)的形式，其中，a是 二次项，bx是一次项，c是常数项,；a,b,c分别是二次项、一次项和常数项的系数。 注意①二次函数y=a+bx+c (a ,b, c是常数，a≠0)中，x,y是变量，a,b,c是代表任意实数的常量。 ②二次函数y=a+bx+c (a ,b, c是常数，a≠0)等号左右两边必须都是整式，不能是分式。 ③常量a不能为0，否则就不是二次函数。而b,c可以为0，甚至可以同时为0. 如y=a+bx (a,b是常数，a≠0)，y=a+c (a ,c是常数，a≠0)，y=a (a ,是常数，a≠0)都是二次函数。 ④自变量的最高次项必须是二次。 3， 根据实际问题列二次函数的时候，要注意变量取值要符合实际意义。 4， 二次函数图像画法：五点法，描出顶点，再在两侧取对称的各两点连线。 5， 二次函数图像是光滑的抛物线，自变量取值为全体实数，因此抛物线向开口方向无限延伸，没有端点。 6， 二次函数y=a+bx+c 的图像和性质 7， 二次函数的图像与系数之间的关系 8，a值还决定抛物线的开口幅度， | a |，越大，抛物线开口幅度越小，图像就越“瘦。” 9，a值互为相反数的两个函数，图像形状相同，开口方向相反，并且既关于顶点中心对称，又关于y = 和 x= - 轴对称。 10， 二次函数对称轴两侧函数增减性相反，讨论函数增减性的时候要按x> - 和x<- 来讨论。 11， 二次函数y=a+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)可以通过配方化成y=a(x-h+k的形式来判断顶点和对称轴，即顶点坐 标为（h，k），对称轴为x=h。 12， 抛物线顶点坐标有两种解法： ①利用配方法将二次函数化为顶点式：y=a(x-h+k，顶点坐标为（h，k）。 ②利用顶点坐标公式：明确函数a,b,c值以后，顶点坐标为（- ， ）。 13， 求抛物线最值： ①若自变量的取值范围是全体实数，则抛物线的最大（小）值就是抛物线顶点的纵坐标。抛物线有最大值（最 高点）意味着a<0，抛物线有最小值（最低点）意味着a>0。 ②若自变量的取值为<x < ，则首先需要判断自变量取值范围里是否包含顶点横坐标。如果不包含顶点横坐 标，这这两点在对称轴同侧，可利用函数增减性来确定最大（小）值；若自变量取值范围里包含顶点横坐标，则 在顶点位置取得函数最大（小）值。 14，,比较二次函数上两点y值大小的方法： ①直接代入法：如果函数表达式和点的横坐标已知，可以直接代数求Y值。 ②增减性比较法：先确定两点是不是在对称轴的同侧。如果不在同侧，可以利用二次函数的对称性将两点化为在对称轴同侧。 再确定同侧的这两点是在对称轴的左边还是右边，直接利用函数增减性判断大小。 ③点到对称轴距离比较法：若抛物线开口向上，则点到对称轴距离越大，相应的函数值就越大。若抛物线开口向下，则点到对称轴距离越大，则相应的函数值就越小。 15，抛物线与直线交点问题： ①求直线与抛物线交点坐标，就是求一次函数与二次函数关系式联立所组成的方程组的解。 ②判断直线与抛物线交点个数，就是判断一次函数与二次函数关系式联立后，因=所形成的二元一次方程 组的根的判别式△，△>0则有两个交点，△<0没有交点，△=0一个交点。 16，二次函数平移： ①上加下减（上下平移减c值），左加右减（左右平移减x值）。 ②平移前后二次函数的二次项系数a不变。 ③抛物线的平移主要看顶点坐标位置的平移。 17， a+b+c和a-b+c分别是二次函数y=a+bx+c在x=1和 x= -1时的函数值，可根据图像来确定符号。其它常见的 式子如4a+2b+c和4a-2b+ c的符号由x=2(或-2)的符号决定。9a+(-)3b+c也类似。 18， 二次函数的几种常见表达式： ①一般式：若已知抛物线上任意三点的坐标，可设二次函数表达式为y=a+bx+c，代入坐标求解三元一次方程组。 ②顶点式：若已知抛物线顶点坐标或对称轴或最值，可设二次函数表达式为y=a(x-h+k，再将其它条件代入。 ③交点式：若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，或已知抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴（通过对称轴可求 出另一个交点坐标），则可设二次函数表达式为y=a(x-)(x -)来求解。 ④若抛物线顶点在原点，可设二次函数表达式为y=a。