专题1.5 角平分线的判定与性质【八大题型】-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.5 角平分线的判定与性质【八大题型】 【北师大版】 【题型1 利用角平分线的性质求长度】 1 【题型2 利用角平分线的性质求面积】 2 【题型3 利用角平分线的性质证明】 3 【题型4 角平分线的判定】 4 【题型5 尺规作角平分线】 6 【题型6 角平分线的性质与判定综合运用】 7 【题型7 利用角平分线的性质判断多结论问题】 9 【题型8 角平分线的性质的实际应用】 10 【知识点1 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【题型1 利用角平分线的性质求长度】 【例1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，平分，，，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·贵州·八年级统考期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．    【变式1-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）如图，中，，是的角平分线，于点，若，，，则的周长是 ．    【变式1-3】（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【题型2 利用角平分线的性质求面积】 【例2】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，已知的周长是18，，分别平分和，于D，且，则的面积是（　　）    A．6 B．9 C．18 D．36 【变式2-1】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，，平分，平分，若，则 ．    【变式2-3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为 ． 【题型3 利用角平分线的性质证明】 【例3】（2023春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知，是的角平分线，且交于点P． (1)直接写出___________°；    (2)求证：； (3)探究的数量关系． 【变式3-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，中，为的中点，交的平分线于，，交于，，交的延长线于，试问：与的大小如何？证明你的结论． 【变式3-2】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，已知中，、的平分线交于O，交于D，交于E，连接，过O作于F，    (1)试判断与有何数量关系，并证明你的结论； (2)若，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【知识点2 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【题型4 角平分线的判定】 【例4】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．    (1)求证：； (2)用表示的大小； (3)求证：平分． 【变式4-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形中，，，E，F分别为，上的点，．    (1)求证：． (2)求证：点C在的平分线上． 【知识点3 角平分线的作法】 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 【题型5 尺规作角平分线】 【例5】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在中，是高，是角平分线，，．    (1)尺规作图（保留作图痕迹）：作的角平分线； (2)在满足（1）的条件下，求证：． 【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，，，请在上找一点D，使点D到的距离等于．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）    【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）（1）作图（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）    已知：，． 求作：射线，使射线与交于点C，且． （2）说明 请根据你的作图，说明的道理． （3）应用 若在中，，，则的面积为________． 【变式5-3】（2023春·北京·八年级校考期中）在中，，直线l垂直平分；作的