专题04 二次根式【八大题型】-2024年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

专题04 二次根式【八大题型】 【题型1 二次根式有意义的条件】 1 【题型2 二次根式的乘除及化简】 2 【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】 2 【题型4 二次根式的混合运算】 3 【题型5 二次根式的估值】 4 【题型6 二次根式中的开放性试题】 4 【题型7 二次根式中的规律探究】 4 【题型8 与二次根式有关的新定义问题】 5 【知识点 二次根式】 1.二次根式的定义 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 2.二次根式的基本性质 ① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。 3.二次根式的乘除 (1)二次根式的乘法：①； ② (a≥0， b≥0)。 (2)二次根式的除法：①； ② (a≥0， b＞0)。 4.最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 5.二次根式的加减 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 【题型1 二次根式有意义的条件】 【规律方法】 此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。 【例1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【变式1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若有意义，则实数x的取值范围是 【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数中，自变量x的取值范围是(　　) A． B． C． D．且 【变式1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子有意义的的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【题型2 二次根式的乘除及化简】 【例2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算结果为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若，，则 ． 【变式2-2】（2023下·江苏·八年级专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】 【例3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： 解：            …第1步               …第2步                            …第3步                               …第4步 任务： (1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）； (2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ； (3)计算的正确结果为 ． 【变式3-1】（2023·天津·统考中考真题）计算的结果为 ． 【变式3-2】（2023·天津河北·统考一模）计算的结果等于 ． 【变式3-3】（2023·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：，则有，那么我们如何把双重二次根式化简呢？如果能找到两个数m，n使得即，即，那么，从而使双重二次根式得以化简． 例如：化简． ∵， ∴， ∴，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成的形式且能找到两个数m，n使得即，即，那么这个双重二次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题： (1)填空：________； ________； (2)化简：； (3)计算：． 【题型4 二次根式的混合运算】 【例4】（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：． 【变式4-1】（2023·山东聊城·统考中考真题）计算： ． 【变式4-2】（2023·上海·统考中考真题）计算： 【变式4-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型5 二次根式的估值】 【例5】（2023·山东临沂·统考中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·山东济南·校考三模）估计的值应在 和 之间（填写整数）． 【变式5-2】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】（2023·河北邯郸·统考三模）如图，数轴上有，，，，四点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（    ）    A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 【题型