第11讲 菱形与正方形-2023-2024学年八年级数学下册寒假自学课（人教版）

第11讲 菱形与正方形 【人教版】 ·模块一 菱形的定义及性质 ·模块二 菱形的判定 ·模块三 正方形 ·模块四 课后作业 模块一 菱形的定义及性质 1.菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形. 【注意】 （1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表. 性质 数学语言 图形 边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， . 对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， , 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 【注意】 （1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线. （2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高. 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【考点1 菱形的定义】 【例1.1】（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）菱形定义：一组 相等的平行四边形叫菱形． 【例1.2】（2023下·广西南宁·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，若再增加一个条件，就可得出平行四边形是菱形，则你添加的条件是 ．    【变式1.1】（2023下·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形． 【变式1.2】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，已知□ABCD的对角线，相交于点O，下列选项能使□ABCD成为菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 【考点2 菱形的性质】 【例2.1】（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，菱形的边长为2，，则点B的坐标是(    )    A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点E、F、G、H，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【例2.3】（2023下·重庆黔江·八年级统考期末）如图，在菱形中，是的中点，，连接，则等于 ．    【变式2.1】（2023上·甘肃兰州·八年级校考期末）如图，在菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【变式2.2】（2023下·青海西宁·八年级统考期末）如图，四边形是菱形，，则顶点C的坐标是 ．    【变式2.3】（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，，，则菱形的周长是 ．    【考点3 菱形的面积】 【例3.1】（2023下·河南新乡·八年级统考期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，则菱形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【例3.2】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期末）菱形的周长为，其相邻两内角的度数比，则此菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3.3】（2023下·山东淄博·八年级统考期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点的坐标是，则菱形的面积为 ．    【变式3.1】（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式3.2】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）菱形的周长为，两条对角线之比为，则菱形的面积为 ． 【变式3.3】（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，，垂足为点，若，，则菱形的面积为    模块二 菱形的判定 菱形的判定 判定方法 数学语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形. 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形. 【考点1