26.3 第1课时 抛物线形实际问题（教学课件）数学华东师大版九年级下册

第二十六章 二次函数 26.3 实践与探索 第1课时 抛物线形实际问题 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．（重点） 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题．（难点） 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 例1 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 米，水面宽是 4 米时，拱顶离水面 2 米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 拱桥问题 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A x O y -2 2 1 -2 -1 A 如何确定 a 的值？ 因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m，因此点 A(2，-2)在抛物线上，由此得出 解得 由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是： 水面宽 3 m 时， 从而 因此拱顶离水面高 1.125 m 现在你能求出水面宽 3 m 时，拱顶离水面高多少吗？ 这条抛物线表示的二次函数为 y = x O y −2 −4 2 1 −2 −1 B 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 解得 即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 我们来比较下面这些建系的方法 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适？为什么？ y y y y o o o o x x x x 例2 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？ 喷水问题 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得 A 点坐标为 (0，1.25)， 顶点 B 坐标为 (1，2.25). 数学化 o ● C ● D x y ● B(1，2.25) (0，1.25) A ● 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)； 同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) . 设 y 轴右侧的抛物线为 y = a(x + h)2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为 y = -(x - 1)2 + 2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) o A x y ● D ● C 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期销售额是 元，销售利润是 元. 18000 6000 数量关系 （1）销售额 = 单价×销售量； （2）利润 = 销售额 - 总成本 = 单件利润×销售量； （3）单件利润 = 销售单价 - 进价. 销售问题 例3 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．(1)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2160元？(2)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 解：设每件玩具的售价定为x元时，月销售利润恰为2160元，根据题意，得 整理，得 解得 ∵每件玩具售价不能高于40元，答：每件玩具的售价定为38或32元时，月销售利润恰为2160元； （2）解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润为y元，根据题意，得： ∵ ∴当x=35时，y有最大值为2250， 答：每件玩具的