预习篇 第13讲 二项式定理 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第13讲 二项式定理 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 二项式定理 其中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示表示，即. 解释 ① 例 ， 它的二项展开式是，二项展开式的通项. ② 二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. ③ 在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 2 二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，直线是图象的对称轴． (2)增减性与最大值 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值． (3)二项式系数和 ，奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 证明 令，则， 令，则， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 3 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 【题型1】二项式展开式 【典题1】 （多选）对于的展开式，下列说法正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第项 【巩固练习】 1. (★)在的展开式中，第项为 ( ) A． B． C． D． 2. (★★)二项式的展开式中的系数为(　　) A． B． C． D． 3. (★★★) (多选)关于多项式的展开式，下列结论正确的是(　　) A．各项系数之和为 B．二项式系数之和为 C．存在常数项 D．的系数为 4. (★★★) (多选)在的展开式中，下列说法正确的有(　　) A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为 C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 D．展开式中含项的系数为 5. (★★★)在二项式的展开式中，系数最大项的系数是 . 6. (★★★)在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列 (1)求展开式的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中各项的系数和. 【题型2】 两个二项式相乘 【典题1】 设，则 ． 【巩固练习】 1. (★★)已知的展开式中的系数为，则等于( ) A． B． C． D． 2.(★★)的展开式中的系数是( ) A． B． C． D． 3.(★★)展开式的常数项为(　　) A． B． C． D． 4.(★★)的展开式中各项系数和为，则该展开式的系数为(　　) A．30 B．-30 C．10 D．-10 5. (★★★) (多选)已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有(　　) A． B．展开式中常数项为 C．展开式系数的绝对值的和 D．若为偶数，则展开式中系数是系数的倍 【题型3】 赋值求系数 【典题1】 设，那么的值为 . 【巩固练习】 1. (★★)设，则( ) A． B． C． D． 2. (★★)若，则的值是 3. (★★)若， 则的值为 . 4. (★★★) (多选)关于，则(　　) A． B． C． D． 5. (★★★)若的展开式中只有第项的二项式系数最大， (1)求展开式中系数最大的项； (2)设，求． 1. (★★)在的展开式中，若含项的系数为，则正实数(　　) A． B．2 C． D． 2. (★★)若的二次式展开式中项的系数为，则(　　) A． B． C． D． 3.(★★)展开式中的系数为(　　) A． B． C． D． 4. (★★★)已知，则(　　) A． B． C． D． 5. (★★★) (多选)关于的展开式，下列结论正确的是(　　) A．奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．只有第项的二项式系数最大 D．含x项的系数为 6.(★★)的展开式中项的系数是 . 7. (★★)若，则______. 8.(★★★)的展开式中的常数项为________． 9. (★★★)已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 10. (★★★★)已知: 为常数)． (1)求； (2)我们知道二项式的展开式．若该等式 两边对求导得：， 令，可得．利用此方法解答以下问题： ① 求； ② 求． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！