预习篇 第12讲 排列组合 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第12讲 排列组合 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 排列概念 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2 阶乘 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘，规定． 3 排列数 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.其中 或 4 组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 5 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 规定. 6 组合数的性质 ① ；② ；③ . 【题型1】 排列和组合的概念 【知识点解读】 1 排列概念 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 【例】 若从，，，这个数字中，每次取出个排成一个三位数，共可得到多少种不同的三位数？ 解 利用树状图易得共种可能. 个位 十位 百位 题目的要求是取出个数字按照“个位”、“十位”、“百位”的顺序依次排成一列，其中元素“123”和“132”不是同一元素,因为它们的次序不一样. 故排列讲究的是“顺序”！ 2 组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 解释 (1) 组合的举例：从高二班个学生中选个学生组个篮球队；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动. (2) 排列与组合的区别 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 比如 ① 一个班有个学生，选两个班长有多少种选法？ ② 一个班有个学生，选正副班长各人有多少种选法？ ①是组合问题，②是排列问题，“选正副班长”就意味着：选出的班长还要讲“顺序”. 又比如 ① 从这个数中选个数字作加法，得数有多少种结果？ ② 从这个数中选个数字作减法，得数有多少种结果？ ①是组合问题，②是排列问题，“两个数字作减法”就意味着：谁是减数谁是被减数，结果不一样，即讲究“顺序”. 【典题1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)把当日动物园的张门票分给个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从个质数中，每次取个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从名学生中选出名参加一个联欢会，有多少种不同选法？ 【巩固练习】 1. (★)下列问题属于排列问题的是( ) ①从个人中选人分别去种树和扫地； ②从个人中选人去扫地； ③从班上名男生中选出人组成一个篮球队； ④从数字中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 2. (★)下列问题是排列问题的为 　 　(填序号)． ①选个小组分别去植树和种菜； ②选个小组分别去种菜； ③从中任取两个数字相除； ④个车站，站与站间的车票． 【题型2】 排列数和组合数 【知识点解读】 1 排列数 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.其中 或 解释 ① 为什么等于 ？ 举例说明下，从，,,,这个数字中选个数字排成三位数字，用排列数表示即是种可能.那具体数值是多少呢？用计数原理来试试， 第一步，选择个位数有种选法； 第二步，选择十位数只能在剩下的个数字选，有种选法； 第三步，选择百位数只能在剩下的3个数字选，有3种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种可能; 即. ② 这排列公式的结构相当于“在数字到从大到小依次选个数字连乘”，比如从中从大到小选个数字连乘，而，. ③ 特别地，把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列. 即. ④ . 2 阶乘 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘，规定． 【例】 ，. 3 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 规定. 解释 ① 从个元素中取出个元素的排列(排列数) 可以理解为分为两步： 第一步 从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步 再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到 ② 这组合公式的结构相当于“在数字到从大到小，选个大数连乘除以个小数连乘”，比如从中“个大数连乘”除以“个小数连乘”，而，. 4 组