专题09 三角恒等变换（8大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高一数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题09 三角恒等变换 知识点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②公式的变形：； 知识点2 二倍角公式与升（降）幂公式 1、二倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：；变形 （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、升降幂公式 （1）升幂公式：， （2）降幂公式：， 知识点3 给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. 1、给值求值问题处理 （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、给值求角问题处理 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好； 若角的范围是，选正弦较好. 知识点4 三角恒等变换综合应用 1、辅助角公式：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、三角函数化简“三看”原则 3、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 考点1 两角和与差的正（余）弦公式 【例1】（2023·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（ ） A．0 B． C． D．1 【变式1-1】（2023·海南海口·高二校考阶段练习）计算：（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·广东佛山·高一三水中学校考阶段练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023·四川遂宁·高一蓬溪中学校校考阶段练习） . 考点2 两角和与差的正切公式 【例2】（2023·西藏拉萨·统考一模）的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】（2023·山东泰安·高三统考期中）的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·云南·高三校联考阶段练习）的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·高一课时练习）若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【变式2-4】（2023·江苏徐州·高一统考期中）计算： ． 考点3 二倍角公式及其应用 【例3】（2023·河北邯郸·高一校考期末）若，则等于（ ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（2023·江西·高一统考期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高一随堂练习）化简： ． 【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值: （1） （2） （3） （4） 【变式3-4】（2023·全国·高一随堂练习）已知，求的值． 考点4 给角求值问题 【例4】（2023·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期中）（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）化简：（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·湖北武汉·高一武昌实验中学校考阶段练习）计算：（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022·贵州六盘水·高二校考阶段练习）的值为（ ） A