预习篇 第10讲 导数与函数的极值、最值 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第10讲 导数与函数的极值、最值 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 3函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【题型1】极值的概念 【知识点解读】 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 解释 ① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图； ② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和. ③ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质； ④ 对于极值还有特别强调一下，看例题： 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( ) A. 必有 B.不存在 C. 或不存在 D.存在但可能不为 解析：函数， ， 但时，时，； 故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数， 当时，； 当时，； 所以在处取到极值，但在导数不存在；故选. 总结 ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，； ③ 定义很重要. 【例】判断是否的极大值点. 2 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 【典题1】 已知函数的导函数为函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．上为减函数 B．上为增函数 C．的极小值为极大值为 D．的极大值为极小值为 【典题2】 函数在处有极大值，则的值等于 ( ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)设函数的定义域为的极大值点，以下结论正确的是(　　) A． B．的极小值点 C．的极小值点 D．的极小值点 2. (★)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上先增后减 3. (★★)若函数处取得极值(　　) A． B． C． D． 4. (★★)已知，函数的极小值为，则　 ( ) A． B． C． D． 【题型2】 求函数的极值 【典题1】 函数在点处的切线斜率为． (1)求实数的值；(2)求的单调区间和极值． 【典题2】讨论的极值点的个数； 【巩固练习】 1. (★★)函数有( ) A．极小值，极大值 B．极小值，极大值 C．极小值，极大值 D．极小值，极大值 2. (★★)已知函数，则函数的极小值为( ) A． B． C． D． 3. (★★★)已知曲线在点处的切线方程为． (1)求、的值；(2)求的极值． 4. (★★★)已知函数，为常数， (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围. 5. (★★★★)设为实数，函数． (1)当时，求的单调区间； (2)求在上的极大值与极小值． 【题型3】 求函数的最值 【知识点解读】 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 解释 (1) 极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值. (2) 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 【典题1】 设，函数． (1)求的极值；(2)若，求函数的值域． 【巩固练习】 1. (★★)函数在区间上的最大值和最小值分别为( ) A．和 B．和 C．和 D．和 2. (★★)若函数在区间上的最大值为，则 ( ) A． B． C． D． 3. (★★)已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． 4. (★★★)已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 5. (★