预习篇 第9讲 导数与函数的单调性 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第9讲 导数与函数的单调性 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 【题型1】导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图” 【知识点解读】 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 解释 (1) 如下图，导数表示函数的图象在点处的切线的斜率，可发现， 在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减. (2) 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数，即是个常数，则原函数不可能在内单调递增. 函数在某个区间内单调递减有类似结论！ (3)导函数“穿线图”与原函数“趋势图” ① 导函数“穿线图”关注导函数在各区间的正负，故特别注意函数与轴的交点情况， 如与的“穿线图”视为一样的，它们在上为负，在上为正. ② 原函数“趋势图”仅关注函数在各区间上的单调性，没顾及其最值或曲线形状等， 如由导函数的“穿线图”易得原函数在上递减，在上为递增，趋势图可如下图， ③ 后面涉及到函数单调性均可通过分析导函数“穿线图”得出原函数的单调性. 【典题1】 函数的图象如图所示，则不等式的解集( ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)如图是的图像，则函数的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 2. (★)已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的( ) A． B． C． D． 3. (★)设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为(　　) A． B． C． D． 4. (★★)已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数的导函数，则不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 【题型2】 求不含参函数的单调性 【典题1】 已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求实数的值；(2)求的单调区间． 【巩固练习】 1. (★★)函数的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 2. (★★)已知函数，则的单调增区间是(　　) A． B． C． D． 3. (★★)判断函数在下面哪个区间内是增函数(　　) A． B． C． D． 4. (★★)函数的单调递减区间是( ) A． B． C． D． 5. (★★★)已知函数； (1)求在处的切线；(2)求的单调区间． 6. (★★★)确定函数，的单调区间． 7. (★★★)函数的单调区间. 【题型3】 求含参函数的单调性 【知识点解读】 1 对含参函数单调性的分析思路 (1) 如何分析原函数的单调性？ 答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性. (2) 那如何分析导函数的正负性呢？。 答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”(即解导数不等式，与其零点有莫大关系))，看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”(即原函数的大致趋势)也不难了(看下图). (导函数看“零点”，原函数看单调性) (3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？ 答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题： ① 导函数是否存在零点； ② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？ ③ 零点是否在定义域内？ (4) 怎么做到准确的分类讨论呢？ 答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准； ② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”. 2 各模型分类讨论的标准 分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据. “一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小； “二次函数”型：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小； “指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论. 【典题1】 求函数的单调性； 【巩固练习】 1. (★★)求函数的单调性. 2. (★★)求函数的单调区间； 3. (★★)已知函数求函数的单调区间. 4. (★★★)求函数其中的单调性. 【题型4】 应用 【典题1】 已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【典题2】若，则( ) A．