预习篇 第8讲 导数的概念及其意义和导数的运算 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第8讲 导数的概念及其意义和导数的运算 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，可用式子表示函数从到的平均变化率. 2 瞬时变化率 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 3导数概念 函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 4 导函数 若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即 5 基础初等函数的导数 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 6 导数运算法则 (1)； (2)； (3). 7 简单复合函数的导数 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 8 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 【题型1】导数概念的理解 【知识点解读】 1 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，可用式子表示函数从到的平均变化率. 【例】 函数在区间上的平均速度为． 它与斜率相等. 2 瞬时变化率 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 3导数概念 函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 【例1】已知的导函数，则(　　) A． B． C． D． 答案 【例2】一质点运动的方程为，则质点在时的瞬时速度是 . 解 质点在时的瞬时速度. 【典题1】 （多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离单位：与时间单位：之间的函数表达式为.下列说法正确的是(　　) A.前内球滚下的垂直距离的增量 B.在时间内球滚下的垂直距离的增量 C.前内球的平均速度为 D.在时间内球的平均速度为 【典题2】一质点运动的方程为． (1)求质点在这段时间内的平均速度； (2)求质点在时的瞬时速度． 【巩固练习】 1. (★)某物体做自由落体运动的位移，若，则是该物体(　　) A.从到这段时间的平均速度 B.从到这段时间的平均速度 C.在这一时刻的瞬时速度 D.在这一时刻的瞬时速度 2. (★)函数的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是(　　) A． B． C． D． 3. (★)某物体做自由落体运动的位移，若，则是该物体(　　) A．从这段时间的平均速度 B．从这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 4. (★★)已知函数是可导函数，且，则(　　) A． B． C． D． 5. (★★)一物体做直线运动，其位移单位：与时间单位：的关系是，则该物体在时的瞬时速度是(　　) A. B. C. D. 6. (★★)航天飞机升空后一段时间内，第时的高度，其中的单位为的单位为. (1，，分别表示什么？ (2)求第内的平均速度； (3)求第末的瞬时速度． 【题型2】基本初等函数的导数 【知识点解读】 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 根据导数的定义求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值. 下面求几个常用函数的导数. 【例1】函数的导数. 解 因为， 所以. 【例2】函数的导数. 解 因为， 所以. 2导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. 【例】 求下列函数的导数 (1) (2) (3) 解 (1)； (2)； (3). 【典题1】 求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)． 【巩固练习】 1. (★★)设，则等于(　　) A． B． C． D． 2. (★★)已知函数的导函数，若，则(　　) A． B． C． D． 3. (★★★)已知函数，则(　　) A． B． C． D． 4. (★★)在一次高台跳水比赛中，某运动员在时的重心相对于水面的高度(单位: ) 是，则该运动员在时的瞬时速度为 . 5. (★★)现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为，高为，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶