复习篇 第7讲 数列专题2：数列的新定义问题 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第7讲 数列专题2：数列的新定义问题 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 解决新定义问题，首先考察对定义的理解。其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 【题型1】以某种简单的规律定义新数列 【典题1】 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．若该数列的前n项和为2的整数幂，如，则称中的(n，k)为“一对佳数”，当n≥100时，首次出现的“一对佳数”是 　 　． 【巩固练习】 1. (★★) (多选)“0，1数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，f(A)表示把A中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的“0，1数列”，例如A(0，1，1，0)，则f(A)＝(1，0，0，1，0，1，1，0)．设A1是一个有限“0，1数列”，定义Ak+1＝f(Ak)，k＝1，2，3，…．则下列说法正确的是(　　) A．若A3＝(1，0，0，1，1，0，0，1)，则A1＝(0，0) B．对任意有限“0，1数列”A1，则An(n≥2，n∈N)中0和1的个数总相等 C．An+1中的0，0数对的个数总与An中的0，1数对的个数相等 D．若A1＝(0，0)，则A2021中0，0数对的个数为 2. (★★★) (多选)Look﹣and﹣say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，…．若Look﹣and﹣say数列{an}第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列{bn}，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的第四项为111221 B．数列{an}中每项个位上的数字不都是1 C．数列{bn}是等差数列 D．数列{bn}前10项的和为160 3. (★★★) (多选)记＜x＞表示与实数x最接近的整数，数列{an}通项公式为 (n∈N*)，其前n项和为Sn，设，则下列结论正确的是(　　) A． B． C．n≥k2﹣k+1 D．S2022＜90 4. (★★★★) (多选)已知数列{an}：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，以此类推．记数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．S20＝120 B．a50＝16 C．若 Sn＞1000，则n的最小值为45 D．若n＞200且存在m(m∈N*)，使得 Sn＝2ⁿ+1，则m+n的最小值为440 【题型2】 以函数定义新数列 【典题1】 给定数列{an}，若满足a1＝a(a＞0且a≠1)，且对于任意的m，n∈N*，都有am+n＝am•an，则称数列{an}为“指数型数列”． (1)已知数列{an}的通项公式an＝4n，证明：{an}为“指数型数列”； (2)若数列{an}满足：，an＝2anan+1+3an+1(n∈N*)； ①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； ②若数列{an}的前n项和为Sn，证明：． 【巩固练习】 1. (★★)在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如：φ(1)＝1；φ(3)＝2(与3互素有1、2)；φ(9)＝6(与9互素有1、2、4、5、7、8)．记Sn为数列{n•φ(3n)}的前n项和，则S10＝(　　) A． B． C． D． 2. (★★★)数列{an}满足a1＝1，an+1＝f(an)，n∈N*，定义函数y＝f(x)是数列{an}的特征函数，则下列说法正确的是 　． ①当f(x)＜x时，数列{an}单调递增 ②当f(x)＝2x﹣1时，an＝1 ③当时， ④当时，记数列{an}的前n项和为Sn，则 【题型3】 以项之间关系或与关系定义新数列 【典题1】 数列{an}满足：对任意的n∈N+且n≥3，总存在i，j∈N+，使得an＝a