复习篇 第5讲 圆锥曲线专题2：定点定值问题 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第5讲 圆锥曲线专题2：定点定值问题 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 求定点问题的方法 ① 方程恒成立法 先求出满足特定条件的方程其中是变量，是参数，再证明当时，不管取任何值方程恒成立； ② 特殊值法 通过特殊情况确定定点(一个也可能多个)，再证明它们满足特定条件. ③ 几何法 通过平几知识点，确定某点符合某种运动规律. 2 求定值问题的方法 ① 参数法 把相关几何量用曲线里的参变量表示，再证明结论与求参数无关； 解题步骤 引进参数--列出关系式--化简消参，求出定值. ② 由特殊到一般法 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. ③ 几何法 根据几何关系确定相关几何量的不变. 【题型1】定点问题 情况1 求某直线(或曲线)过定点 【典题1】 已知抛物线：的焦点为倾斜角为的直线过点与抛物线交于两点的面积为(为坐标原点)． (1)求； (2)设点为直线与抛物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为的两条弦如果证明直线过定点，并求出定点坐标． 【巩固练习】 1. (★★★)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，但不在轴上，当点在上运动时，的周长为定值，且当时． (1)求的方程． (2)若斜率为的直线交于点，，的左顶点为，且成等差数列， 证明：直线过定点． 2. (★★★)已知抛物线：的焦点为是抛物线上一点，且在第一象限，满足， (1)求抛物线的方程； (2)已知经过点的直线交抛物线于两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 情况2 某动点在定直线(或曲线)上 【典题1】 已知椭圆离心率为点分别为椭圆的左、右顶点点分别为椭圆的左、右焦点．过点任作一条不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程． (2)若直线交于点，试判断点是否在某条定直线上．若是，求出的值；若不是，请说明理由． 【巩固练习】 1. (★★★)在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为． (1)求的值； (2)当过点的动直线与椭圆交于不同的点时，在线段上取点使得，问：点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由． 2. (★★★★)设双曲线的方程为：． (1)设是经过点的直线，且和有且仅有一个公共点，求的方程； (2)设是的一条渐近线是上相异的两点．若点是上的一点关于点的对称点记为关于点的对称点记为．试判断点是否可能在上，并说明理由． 情况3 其他情况 【典题1】 已知椭圆：经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与轴不重合)与椭圆交于两点．是否存在一定点使得x轴上的任意一点(异于点到直线的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【巩固练习】 1. (★★★)在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2】 定值问题 情况1 线段定值 【典题1】 已知椭圆：的左、右焦点分别是离心率过点的直线交椭圆于两点的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知为原点，圆：与椭圆交于两点，点为椭圆上一动点，若直线与轴分别交于两点，求证：为定值． 【巩固练习】 1. (★★★)椭圆：的离心率为为的长轴上的一个动点，过点斜率为的直线交于两点．当时. (1)求的方程；(2)求证：为定值． 2. (★★★)已知双曲线渐近线方程为为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值． 情况2 斜率定值 【典题1】 已知椭圆：经过点)，其离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于点，试判断随着的转动，直线与的斜率的乘积是否为定值？说明理由． 【巩固练习】 1. (★★★)已知，椭圆过点两个焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值． 2. (★★★★)如图，已知椭圆的焦点为，离心率为过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②在直线的斜率不断变化过程中，探究∠和∠是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，